1)Придел последовательности D(f) E(f) . y=f(x) . y=x^2. Опр.Отображение, которое каждому элементу из множества N ставится в соответствии единственное (вещественное ) число, называется последовательностью.f(n)= x n-ное- общий или y n –ное -последовательный.

Опр. Числа a называются приделами последовательности x n-ное, если для любого x существует число n c коэффициентом Е ,принадлежащее N, такое что при всех n малых n >n с коэф. E.|x n –ное- а|<E.

Любой открытый интервал с центром некоторой точки с радиусом Е называется Е-окрестностью этой точки. ОПР. Последовательность, имеющая конечный придел называется сходящейся.ОПР. Последовательность x n-нная называется ограниченной, если существует n>0,такое что для любого n принадлежащего N. Св-ва придела последовательности.

1) Если последовательность имеет придел, то он единственный

2) Если последовательность сходится. То она ограниченна.

3) Если придел послед начиная с некоторого номера если придел послед.равен 0. То он называется бесконечно малым, если придел последовательности равен бесконечности, то он наз-ся бесконечно большой.

4) Если

2) Свойства бесконечно малых и бесконечно больших последовательностей.

1)Сумма бесконечного числа бесконечно малых последовательностей явл.бесконечно малой последовательностью.

2) произведение б/м последовательности на ограниченную явл б/м.

3) произведение б/б последовательностей на ограниченную явл б/б

4) сколько угодное большое положительное число плюс бесконечность или отрицательное минус бесконечность число.

3) Придел функции и его свойства.

Опр.Число А называется приделом функции f(x) при если при любой последовательности x- нное сходящееся последовательность сходится А.

Свойства:

4)Неопределённости

Под неопределённостью понимается ситуация , когда нельзя непоследственно воспользоваться свойствами придела суммы, произведения или частного

5)Замечательные приделы

6)Свойства функции

F(x) определена на множестве D(f). Опр. Функция f(х) наз. Чётной , если для любого

7)непрерывность функций.

ОПР. Ф-ция y= f(x) наз непрерывной

Св-во1: если f(x) g(x) непрерывны в точке , то в этой точке непрерывной ф-ции. Св-во2. Знак придела непрерывной функции можно менять местами.

Св-во 3. Если y=f(x) непрерывна в , то обратная ф-ция непрерывна в точке

Св-во 4. Композиция непрерывных ф-ций явл непрерывной функцией.

Св-ва непрерывных функций на сегменте.

Теорема1(1ая теорема Вейерштрасса) если ф-ция определена и непрерывна на сегменте , то она ограничена на нём

2 теорема Вейерштрасса. Если функция определена и непрервна на сегменте, то она достигает наибольшего и наименьшего значения на нём.

1 теорема Больцано-Каши. Если ф-ция определена и непрерывна на сегменте [a,b]принимает на его концах значение разных знаков , то существует точка

2 теорема Больцана-Каши. Если ф-ция непрерывна на отрезке, то множество её значений

9)определение производной. Правила вычисления производной

Произво́дная (функции в точке) — основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции (в данной точке). Определяется как предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если такой предел существует. Функцию, имеющую конечную производную (в некоторой точке), называют дифференцируемой (в данной точке).

Процесс вычисления производной называется дифференци́рованием. Обратный процесс — нахождение первообразной — интегрирование.

Правила вычисления производных

Производная суммы двух любых выражений равна сумме производных этих выражений (производная суммы равна сумме производных)

Производная разности двух любых выражений равна разности производных этих слагаемых (производная разности равна разности производных).

Производная от произведения двух множителей равна произведению производной первого множителя на второй плюс произведение первого множителя на производную второго (сумма поочередно взятых производных от множителей).

Комментарий репетитора по математике: когда я короткими фразами напоминаю ученику о правиле вычисления производной от произведения, я говорю так: производная первого множителя на второй плюс обмен штрихами!

Производная от частного двух выражений равна частному разности поочередно взятых производных от множителей и квадрата знаменателя.

Производная от произведения числа на функцию. Чтобы найти производную от произведения числа на буквенное выражение (на функцию) нужно умножить это число на производную этого буквенного выражения.

Производная сложной функции:

Для вычисления производной сложной функции необходимо найти производную внешней функции и умножить ее на производную внутренней функции.

10) Таблица производных элементарных функций

11)Дифференциал(определение,, правила вычисления)

в математике, главная линейная часть приращения функции. Если функция y = f (x) одного переменного х имеет при х = х0 производную, то приращение

Δy = f (x0 + Δx) - f (x0)

функции f (x) можно представить в виде

Δy = f' (x0) Δx + R,

где член R бесконечно мал по сравнению с Δх. Первый член

dy = f' (x0) Δх

в этом разложении и называется дифференциалом функции f (x) в точке x0. Из этой формулы видно, что дифференциал dy линейно зависит от приращения независимого переменного Δx, а равенство

Δy = dy + R

показывает, в каком смысле Д. dy является главной частью приращения Δy.

Обобщение понятия дифференциала. Обобщение понятия Д. на вектор-функции, начало которому положили в начале 20 в. французские математики Р. Гато и М. Фреше, позволяет лучше выяснить смысл понятия «дифференциал» для функций нескольких переменных, а в применении приводит к понятию вариации, лежащему в основе вариационного исчисления

Дифференциальное исчисление – это раздел анализа математического, связанный главным образом с понятиями производной и дифференциала функции. В дифференциальном исчислении изучаются правила вычисления производных (законы дифференцирования) и применения производных к исследованию свойств функций.

12)Производные и дифференциалы высших порядков

Произво́дная (функции в точке) — основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции (в данной точке). Определяется как предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если такой предел существует. Функцию, имеющую конечную производную (в некоторой точке), называют дифференцируемой (в данной точке).

Производные высших порядков.

Рассмотрим функцию , определенную на некотором промежутке . Вычислим производную , которая также является функцией на . Производной второго порядка от функции называется производная от ее производной: . Аналогично определяют производную любого порядка: .

ПРИМЕР 1. Вычисление производных высших порядков

Дифференциалы высших порядков.

Рассмотрим дифференциал функции в произвольной точке промежутка : . Здесь - приращение независимой переменной, которое является числом и не зависит от . Сам же дифференциал есть функция от , и можно вычислить дифференциал от этой функции: При этот дифференциал от дифференциала называется дифференциалом второго порядка и вычисляется по формуле Аналогично вычисляется дифференциал любого порядка .

13)Использования понятия производной в экономике

Применение дифференциального исчисления для исследования экономических объектов и процессов на основе анализа этих предельных величин получило название предельного анализа. Предельные величины характеризуют не состояние (как суммарная или средняя величины), а процесс изменения экономического объекта. Таким образом, производная выступает как скорость изменения некоторого экономического объекта (процесса) по времени или относительно другого объекта исследования. Но необходимо учесть, что экономика не всегда позволяет использовать предельные величины в силу неделимости многих объектов экономических расчетов и перервности (дискретности) экономических показателей во времени (например, годовых, квартальных, месячных и др.). Одновременно в некоторых случаях можно отделиться от дискретности показателей и эффективно использовать предельные величины. Для исследования экономических процессов и решения других прикладных задач используется понятие эластичности функции.

Определение: эластичность функции Еx (y) называется предел отношения относительного прироста функции к относительному приросту переменной х при х à 0: Еластичность функции приближенно отражает, на сколько процентов изменится функция y = f (х) при изменении независимой переменной х на 1%.

14)Экстремум ф-ции.Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции

Экстре́мум (лат. extremum — крайний) в математике — максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве. Точка, в которой достигается экстремум, называется точкой экстремума. Соответственно, если достигается минимум — точка экстремума называется точкой минимума, а если максимум — точкой

Наибольшим значением функции y = f(x) на промежутке X называют такое значение , что для любого справедливо неравенство .

Наименьшим значением функции y = f(x) на промежутке X называют такое значение , что для любого справедливо неравенство .

Эти определения интуитивно понятны: наибольшее (наименьшее) значение функции – это самое большое (маленькое) принимаемое значение на рассматриваемом интервале при абсциссе .

Стационарные точки – это значения аргумента, при которых производная функции обращается в ноль.

теорема Ферма. Из этой теоремы следует, что если дифференцируемая функция имеет экстремум (локальный минимум или локальный максимум) в некоторой точке, то эта точка является стационарной. Таким образом, функция часто принимает свое наибольшее (наименьшее) значение на промежутке X в одной из стационарных точек из этого промежутка.

• Находим область определения функции и проверяем, содержится ли в ней весь отрезок [a; b].

• Определяем все стационарные точки, попадающие в отрезок [a; b]. Для этого, находим производную функции, приравниваем ее к нулю, решаем полученное уравнение и выбираем подходящие корни.

Если стационарных точек нет или ни одна из них не попадает в отрезок, то переходим к следующему пункту.

• Вычисляем значения функции в отобранных стационарных точках (если таковые имеются), а также при x = a и x = b.

• Из полученных значений функции выбираем наибольшее и наименьшее - они и будут искомыми.