15)Выпуклость. Вогнутость функции. Точки перегиба

. Пусть функция f(x) имеет производную в каждой точке интервала (a;b). Если на интервале (a;b) график функции f(x) расположен выше любой своей касательной, проведенной в точке этого интервала к графику функции, то функция называется вогнутой на этом интервале (иногда говорят "выпуклой вниз") Рис. 4.4.

О. Если на интервале (a;b) график функции f(x) расположен ниже любой своей касательной, проведенной в точке этого интервала к графику функции, то функция называется выпуклой на этом интервале (иногда говорят "выпуклой вверх"

Точка перегиба функции внутренняя точка области определения , такая что непрерывна в этой точке, существует конечная или определенного знака бесконечная производная в этой точке, и является одновременно концом интервала строгой выпуклости вверх и началом интервала строгой выпуклости вниз, или наоборот.

Условия существования

Необходимое условие существования точки перегиба: если функция f(x), дважды дифференцируемая в некоторой окрестности точки , имеет в точку перегиба, то .

Достаточное условие существования точки перегиба: если функция в некоторой окрестности точки раз непрерывно дифференцируема, причем нечётно и , и при , а , то функция имеет в точку перегиба.

16) Асимптоты графика функции

Асимптотой функции называют прямую, к которой приближаются точки графика функции при бесконечном удалении их от начала координат.

Вертикальные асимптоты

Вертикальные асимптоты определяются точками разрыва функции и границами области определения. График функции, непрерывной на всей числовой прямой, вертикальных асимптот не имеет. Некоторые особенности поведения функции в окрестности вертикальных асимптот представлено на рисунке.

Вертикальные асимптоты определяются точками разрыва второго рода

В этом случае f( x0 ± 0) = ± ∞, или f ( x0 ± 0) = + ∞ , или f (x0 ± 0) = − ∞.

Следует отметить, что в этом случае может отмечаться всё разнообразие поведения функции в окрестности точки разрыва. Например, на рис. 8.2 приведён график элементарной функции

.

Рис. 8.2. Точка разрыва второго рода для данной функции определяется только справа

Горизонтальные асимптоты

Если

,

то у = b — горизонтальная асимптота кривой y = f (x) (правая – при х стремящемуся к плюс бесконечности, левая – при х стремящемуся к минус бесконечности и двусторонняя, если пределы при х стремящемуся к плюс-минус бесконечности равны).

Рис. 8.3. Примеры горизонтальных двухсторонних и односторонних асимптот

Наклонные асимптоты

Уравнение наклонной асимптоты функции y = f (x) определим уравнением y =k•x + b. При этом параметры наклонной асимптоты определяются соотношениями

,

.

17)Общая схема исследования функции

Общая схема исследования функции

• Найти область определения функции. Выделить особые точки (точки разрыва).

• Проверить наличие вертикальных асимптот в точках разрыва и на границах области определения.

• Найти точки пересечения с осями координат

• Установить, является ли функция чётной или нечётной.

• Определить, является ли функция периодической или нет (только для тригонометрических функций, остальные непериодические, пункт пропускается).

• Найти точки экстремума и интервалы монотонности (возрастания и убывания) функции.

• Найти точки перегиба и интервалы выпуклости-вогнутости.

• Найти наклонные асимптоты функции.

• Построить график функции.

18)Правило Лопиталя

Правило Бернулли[1]-Лопита́ля — метод нахождения пределов функций, раскрывающий неопределённости вида и . Обосновывающая метод теорема утверждает, что при некоторых условиях предел отношения функций равен пределу отношения их производных

Условия:

1. или ;

2. и дифференцируемы в проколотой окрестности ;

3. в проколотой окрестности ;

4. существует ,

тогда существует .

Пределы также могут быть односторонними.

19)Первообразная. Свойства неопределённого интеграла

Первообра́зной или примити́вной функцией (иногда называют также антипроизводной) данной функции f называют такую F, производная которой (на всей области определения) равна f, то есть F ′ = f. Вычисление первообразной заключается в нахождении неопределённого интеграла, а сам процесс называется интегрированием.

20)Таблица первообразных основных элементарных функций

21)Интегрирование методом замены переменной

Метод интегрирования подстановкой заключается во введении новой переменной интегрирования (то есть подстановки). При этом заданный интеграл приводится к новому интегралу, который является табличным или к нему сводящимся. Общих методов подбора подстановок не существует. Умение правильно определить подстановку приобретается практикой.

Пусть требуется вычислить интеграл Сделаем подстановку где — функция, имеющая непрерывную производную.

Тогда и на основании свойства инвариантности формулы интегрирования неопределенного интеграла получаем формулу интегрирования подстановкой:

22)Интегрирование по частям

Интегри́рование по частя́м — один из способов нахождения интеграла. Суть метода в следующем: если подынтегральная функция может быть представлена в виде произведения двух непрерывных и гладких функций (каждая из которых может быть как элементарной функцией, так и композицией), то справедливы следующие формулы

для неопределённого интеграла:

для определённого:

Предполагается, что нахождение интеграла проще, чем . В противном случае применение метода неоправдано.

23)Разложение дробно-рациональных функций на простые дроби

Рациональная функция — это дробь, числителем и знаменателем которой являются многочлены. Она имеет вид

где , — многочлены от любого числа переменных.

Частным случаем являются рациональные функции одного переменного:

, где P(x) и Q(x) — многочлены.

Рациональной дробью назовем отношение двух алгебраических многочленов с вещественными коэффициентами:

Дробь называется правильной, если степень P(x) меньше степени Q(x), и неправильной в противном случае. Простейшей называется правильная дробь, знаменатель которой представляет собой неприводимый (значит не имеющий корней) над некоторым полем (в нашем случае — поле действительных чисел) многочлен.

Для простых (правильных) дробей с действительными коэффициентами справедлива следующая теорема о разложении на сумму простейших:

Пусть (1) — правильная рациональная дробь с действительными коэффициентами, знаменатель которой имеет вид:

тогда для этой дроби справедливо следующее разложение на сумму простейших дробей:

где индексированные переменные B, M, N — некоторые вещественные постоянные (может быть, равные нулю).

24)Интегрирование простых дробей

Простейшие дроби часто называют элементарыми дробями.

Различают следующие виды простейших дробей:

1.

2.

3.

4.

где A, M, N, a, p, q – числа, а дискриминант знаменателя в дробях 3) и 4) меньше нуля.

Называют их соответственно дробями первого, второго, третьего и четвертого типов.

Интегралы от дробей типа I и II вычисляются подведением под знак дифференциала с последующей заменой переменной:

Для интегрирования дроби типа III выделяем полный квадрат в знаменателе, чтобы подобрать подстановку(интеграл упрощается подстановкой, отысканию интегралов, подведением под знак дифференциала с последующей заменой переменной.

Интеграл от дроби типа IV упрощается с помощью тех же преобразований, что и интеграл от дроби типа III.