16.2. Разложение элементарных функций в степенные ряды

Определение 7. Функцию называют разложимой в степенной ряд на отрезке , принадлежащем области определения функции, с центром в точке , если существует степенной ряд , что всюду на отрезке функция является суммой этого ряда.

Теорема 6 (необходимое условие разложимости). Если функция разложима в степенной ряд на отрезке , принадлежащем области определения функции, с центром в точке , то это разложение единственно, а коэффициенты степенного ряда вычисляются по формуле .

Теорема 7 (достаточное условие разложимости). Для того, чтобы функция была разложима в степенной ряд на отрезке , принадлежащем области определения функции, с центром в точке , достаточно, чтобы: 1) функция была бесконечное число раз дифференцируема и непрерывна вместе со всеми своими производными на отрезке ; 2) производные всех порядков были ограничены одной общей константой.

Пример 4. Получить три отличных от нуля члена разложения в степенной ряд функции в точке .

Решение. Вычислим коэффициенты степенного ряда по формуле . При , , . При , , . При , , .

Так как три первых коэффициента степенного ряда не равны нулю, то искомое разложение функции примет вид

.

Замечание. Разложение в ряд Маклорена некоторых элементарных функций имеет вид

1) , область сходимости ;

2) , область сходимости ;

3) , область сходимости ;

4)  , , , (если , то получается бином Ньютона), интервал сходимости ;

5)  , промежуток сходимости ;

6)  , промежуток сходимости .

Пример 5. Разложить функцию в ряд Маклорена, используя известные разложения элементарных функций.

Решение. Так как , то заменяя в разложении на , получим . Умножим полученное разложение на , тогда .

Замечание. При решении этого примера можно было воспользоваться методом непосредственного разложения, используя формулу , .

Теоретический материал: [1, гл. 13], [5], [8], [10], [17], [19], [21], [27], [33, ч. 2, гл. 3], [40, т. 2, гл. 16].

Задания для решения на практическом занятии

1. Найти промежуток сходимости степенного ряда:

а) , б) , в) , г) , д) , е)  , ж) , з) .

2. Найти первых, отличных от нуля, членов разложения функции в степенной ряд в точке :

а) , , ; б) , , ; в) , , .

3. Разложить функцию в ряд Маклорена, используя известные разложения элементарных функций:

а) , б) , в) , г) , д) .

Задания для самостоятельной работы

1. Найти промежуток сходимости степенного ряда:

а) , б) , в) , г) , д) , е)  , ж) .

2. Найти первых, отличных от нуля, членов разложения функции в степенной ряд в точке :

а) , , ; б) , , ; в) , , .

3. Разложить функцию в ряд Маклорена, используя известные разложения элементарных функций:

а) , б) , в) , г) , д) .

Тема 17. Функции многих переменных

17.1. Пространство

Определение 1. Множество всевозможных совокупностей действительных чисел называют -мерным координатным пространством , если в нем определены операции:

сложения элементов

,

умножения элемента на число : .

Определение 2. Каждую упорядоченную совокупность называют точкой пространства , обозначают , при этом числа называют координатами точки .

Определение 3. Координатное пространство называют евклидовым, если между любыми двумя точками и пространства определено расстояние по формуле .

Замечание. Частными случаями пространства являются пространства (координатная плоскость) и (трехмерное координатное пространство).

Определение 4. Множество точек пространства , координаты которых удовлетворяют уравнению , где хотя бы одно из чисел , , отлично от нуля, называют гиперплоскостью пространства .

Определение 5. Множество точек пространства , координаты которых удовлетворяют неравенству , называют полупространством пространства , расположенным по одну сторону от гиперплоскости .

Определение 6. Множество точек пространства , координаты которых удовлетворяют неравенству , называют открытым -мерным шаром радиуса пространства с центром в точке ( -окрестностью точки ).

Определение 7. Множество точек пространства , координаты которых удовлетворяют неравенству , называют замкнутым -мерным шаром радиуса пространства с центром в точке .

Замечание. В пространстве уравнение определяет прямую, неравенство определяет полуплоскость, а неравенство ( ) определяет круг радиуса с центром в точке .

Пример 1. Построить множество , заданное неравенствами

Р ешение. Первое неравенство задает половину круга с центром в начале координат и радиусом 2, расположенную выше оси . Второе неравенство задает полуплоскость, ограниченную прямой и расположенную левее и выше этой прямой. Третье неравенство задает полуплоскость, расположенную выше оси (рис. 17.1, а)). Таким образом, имеем множество (рис. 17.1, б)).