Из условия задачи по формуле классической вероятности находим вероятности гипотез

Также известны условные вероятности

.

а) По формуле полной вероятности получаем

.

б) Вероятность того, что была подброшена правильная игральная кость, находим по формуле Байеса

Ответ: а) ; б)

Задача 7. В семье 10 детей. Считая вероятности рождений мальчика и девочки равными, найти вероятность того, что в семье а) 5 мальчиков и 5 девочек; б) число мальчиков от 3 до 8.

Решение. Вероятность рождения мальчика Тогда вероятность рождения девочки

а) Пусть событие (из 10 детей в семье будет 5 мальчиков). Для отыскания вероятности этого события используем формулу Бернулли

.

При имеем

.

б) Пусть событие (среди 10 детей в семье число мальчиков будет от 3 до 8). Для отыскания вероятности этого события используем теорему сложения вероятностей несовместных событий и формулу Бернулли

.

Ответ: а) ; б) .

Задание №3. При измерении диаметра дробин (случайная величина), изъятых с места преступления, получены результаты в миллиметрах. Найти доверительные интервалы, с вероятностью покрывающие неизвестное математическое ожидание (генеральную среднюю) и среднее квадратическое отклонение случайной величины. Определить относительную ошибку измерений.

4,74; 4,88; 4,82; 4,68; 4,84; 4,88; 4,76; 4,82; 4,84; 4,79 при .

Решение.

Промежуточные вычисления выполнены в среде табличного процессора MS Excel и приведены в следующей таблице.

№	xi	xi-x	(xi-x)2
1	4,74	-0,065	0,004
2	4,88	0,075	0,006
3	4,82	0,015	0,000
4	4,68	-0,125	0,016
5	4,84	0,035	0,001
6	4,88	0,075	0,006
7	4,76	-0,045	0,002
8	4,82	0,015	0,000
9	4,84	0,035	0,001
10	4,79	-0,015	0,000
Сумма	48,05	0,00	0,036
Средние	4,81		0,004
Отклонение			0,063

Точечная оценка математического ожидания:

=  = .

Точечная оценка дисперсии:

=  = .

Точечная оценка среднего квадратического отклонения:

= = .

Интервальная оценка математического ожидания имеет вид:

.

По таблице находим значение: t_ = t(;n) = t(0,95;10) = 2,26.

4,81  4,81 + ;

4,76  a  4,86.

Интервальной оценкой среднего квадратического отклонения является доверительный интервал:

.

По таблице находим значение q = q(; n) = q(0,95; 10) = 0,65.

Тогда 0,063(1  0,65)   0,063(1 + 0,65);

0,022   0,104.

Найдём относительную ошибку измерений .

Задание №4. По данным, приведённым в таблице, проанализировать влияние одного фактора на другой. Для этого найти коэффициент корреляции между заданными факторами, вычислить уровень его значимости с доверительной вероятностью Если коэффициент корреляции окажется значимым, то найти уравнение линейной регрессии одного фактора на другой, построить прямую регрессии, сделать выводы, дать прогноз и рекомендации. Выполняется вариант № 0.

Решение. Мера линейной зависимости между величинами X и Y характеризуется коэффициентом корреляции. Коэффициент корреляции r есть безразмерная величина, для которой . Если X и Y независимы, то r = 0. Равенство коэффициента корреляции нулю означает отсутствие линейной зависимости (но не исключает зависимости нелинейной). Чем ближе к 1, тем теснее линейная зависимость между величинами X и Y. Наконец, равенство означает наличие точной функциональной линейной зависимости .

Статистический коэффициент корреляции вычисляется по формуле

где – статистический корреляционный момент, - статистическое среднее квадратичное отклонение для X и Y соответственно.

Пусть Х  количество городского населения на 100 человек;

Y  количество преступлений по линии УР на 10 тыс. населения.

С помощью табличного процессора MS Excel вычисляем характеристики:

№	xi	yi	xi-x	(xi-x)2	yi-y	(yi-y)2	(xi-x)*(yi-y)
1	79,0	76,0	-2,77	7,65	-8,15	66,48	22,56
2	79,5	77,0	-2,27	5,14	-7,15	51,17	16,21
3	81,0	80,0	-0,77	0,59	-4,15	17,25	3,18
4	80,0	78,0	-1,77	3,12	-6,15	37,86	10,87
5	81,0	75,2	-0,77	0,59	-8,95	80,16	6,86
6	80,0	72,7	-1,77	3,12	-11,45	131,18	20,23
7	81,0	63,7	-0,77	0,59	-20,45	418,34	15,68
8	81,0	46,0	-0,77	0,59	-38,15	1455,68	29,25
9	81,0	50,9	-0,77	0,59	-33,25	1105,78	25,49
10	82,0	60,8	0,23	0,05	-23,35	545,38	-5,45
11	83,0	102,0	1,23	1,52	17,85	318,50	22,01
12	83,0	128,0	1,23	1,52	43,85	1922,53	54,08
13	84,0	112,0	2,23	4,99	27,85	775,44	62,19
14	85,0	118,0	3,23	10,45	33,85	1145,60	109,44
15	86,0	122,0	4,23	17,92	37,85	1432,37	160,22
Сумма	1226,50	1262,30	0,00	58,43	0,00	9503,72	552,84
Средние	81,77	84,15		3,90		633,58
Отклонение				1,97		25,17
Корреляция	0,74
Регрессия	9,46

математические ожидания

средние квадратические отклонения

корреляционный момент

статистический коэффициент корреляции

Сначала проверим гипотезу о значимости коэффициента корреляции, то есть является ли равенство случайным или оно неслучайно и означает отсутствие линейной корреляционной зависимости между Х и Y. Выдвигаем гипотезу о равенстве генерального коэффициента корреляции нулю при конкурирующей гипотезе . Вычислим наблюдаемое значение критерия

По таблице критических точек распределения Стьюдента по уровню значимости и числу степеней свободы находим критическую точку двусторонней критической области Так как , то гипотеза о равенстве нулю генерального коэффициента корреляции отвергается. Между Х и Y наблюдается линейная зависимость средней силы.

Уравнение линейной регрессии Y на Х имеет вид:

Подставляя найденные значения из таблицы, получаем

или .

Построим уравнение линии регрессии.

У

0 72,87 Х

Вывод. Так как выборочный коэффициент корреляции положительный, то между величинами X и Y наблюдается прямая линейная зависимость. Это означает, что с увеличением количества городского населения на 100 человек в среднем возрастает количество преступлений по линии уголовного розыска.

Прогноз. Если количество городского населения на 100 человек населения увеличится на человека, то из уравнения регрессии получаем, что количество преступлений по линии уголовного розыска на 10 тыс. населения в среднем увеличится на .

Рекомендации. Необходимо подразделения ОВД городских районов в первую очередь комплектовать более квалифицированными кадрами, оснащать современной техникой и внедрять современные информационные технологии в процесс раскрытия преступлений.

Работу выполнил:

Дата:

11