§ 10. Многоканальная смо с неограниченной очередью.

Граф такой СМО (рис.9) получается из графа на рис.8 при m → ∞

S₂

S0

А.

м

S1

А.

2ju

А.

3/л

Рис. 9

А.

… n

S_n

A.

n

Sn+1

А.

nр.

Формулы для финальных вероятностей можно получить из формул для n-канальной СМО с ограниченной очередью при m → ∞ . При этом следует иметь в виду, что при p/n≥1 вероятность р₀ = р1=…= p _n = 0, т.е. очередь неограниченно возрастает. Следовательно, этот случай практического интереса не представляет и ниже рассматривается лишь случай p/n < 1. При m → ∞ из (9.2) получим

-1

1

(10.1)

1+ ρ +

.

p0 =

ρ 2 +...+ ρ n-

2! '" (n-1) (n-1)! n-ρ

Формулы для остальных вероятностей имеют тот же вид, что и для СМО с ограниченной очередью:

рk =

^ρ p₀, (k = 1,n);p_n+i = ρ—p₀, (i = 1, 2…).

(10.2)

Из (9.4) получим выражение для вероятности образования очереди заявок:

р_оч = ρ ⁿ ⋅

n

⋅p0.

0 (10.3)

_{n ! n - ρ}

Поскольку очередь не ограничена, то вероятность отказа в обслуживании заявки р_отк

равна нулю

р _отк = 0, (10.4)

а относительная пропускная способность Q равна единице:

Q = р _обс = 1 - ротк = 1. (10.5)

Абсолютная пропускная способность А равна

A = X·Q = X. (10.6)

Из формулы (9.8) при m → ∞ получим выражение для среднего числа заявок в очереди:

L

p

⋅

(10.7)

оч

n ! (n - ρ)² Среднее число обслуживаемых заявок L_обс определяется формулой

L_о6c=ρ. (10.8)

Среднее время пребывания в СМО и в очереди определяется формулами (4.9) и (4.10).

Пример 11. Интенсивность потока посетителей столовой составляет 150 человек в час. Имеется 3 кассира, каждый из которых обслуживает в среднем 1 посетителя за минуту. Найти характеристики СМО.

Решение. Имеем: n = 3, X = 150 час-¹ = 2,5 мин-¹, /л = 1мин^-1, р = X/ju = 2,5. Вероятность отсутствия посетителей в столовой находим по формуле (10.1):

1+^+

2,5

ро =

2,5 (2,5)² (2,5)³ 1

1! 2! 2! 3-

24

-1

≈ 0,0555,

т.е. работники столовой практически всё время заняты. Вероятность образования очереди

р_оч =2,5

•0,0555 « 0,87.

3! 3 - 0,5

(2,5)³

Среднее число посетителей в очереди

.

3

•0,0555 « 4,35 человека,

3! (3-2,5)² а среднее число обслуживаемых посетителей

L_обс « 2,5 человек .

Среднее число посетителей (обслуживаемых и в очереди) равно

L _смо = L_оч + L_обс ≈ 6,35 человек, т.е. чуть больше одного посетителя на каждого кассира, что оптимально. Среднее время, затрачиваемое посетителем на получение обеда, находим по формуле (4.9):

мин

t _с = L _оч Q (4,35 1

что совсем немного. Можно сделать вывод, что работа столовой организована эффективно.

§11. Многоканальная смо с ограниченной очередью и ограниченным временем ожидания в очереди.

Отличие такой СМО от СМО, рассмотренной в §9, состоит в том, что время ожидания обслуживания, когда заявка находится в очереди, считается случайной величиной, распределённой по показательному закону с параметром v = 1/t_ож., где t_ож -среднее время ожидания заявки в очереди, а v - имеет смысл интенсивности потока ухода заявок из очереди. Граф такой СМО изображён на рис. 10.

Очереди нет

Очередь

λ

λ

Sn

_λ

nμ+v

Sn+1

λ

λ

…_ч

nμ+2v nμ+mv

Sn+m

Рис.10

Остальные обозначения имеют здесь тот же смысл, что и в §9. Сравнение графов на рис. 3 и 10 показывает, что последняя система является частным случаем системы рождения и гибели, если в ней сделать следующие замены (левые обозначения относятся к системе рождения и гибели):

25

S0 → S₀; S_g → S_n+m; S_k → S_k, (k = 1, n); S_k → S_n+i; (k = n + 1,n + m). Л_к^-Я, (/c=0,n+m-1);

(11.1)

[л_к —»(лг+1)-//, (к=0,n-1); iu_K^>niu+(k-n + 1)v, (k=n,n+m-1)

Выражения для финальных вероятностей легко найти из формул (3.2) и (3.3) с учётом (11.1). В результате получим:

р р²

1+

(11.2)

(11.3) (11.4)

1! 2! n ! n ! ~₌₁ i

П (n + W)

p0 =

( k = 1, n)

pk = ^—'p0 ,

k! (

р _n+i=p_n-_i^Е , (i = 1,m)

l =1 (n+lp)

m=1 i=0

m-1 _i

1 + 1i ^Р

где β = ν/μ. Вероятность образования очереди р_оч определяется формулой

(11.5)

ⁱ=1 I I ( n + l п)

Отказ в обслуживании заявки происходит, когда все m мест в очереди заняты, т.е. вероятность отказа в обслуживании р_отк равна

Р

.

(11.6)

ротк р n+m pn

Y[(n + lJ3)

l=1

р^m

_{ft ( n + W)}

l=1

Относительная пропускная способность равна

(11.7)

_{Q =р обс. = 1-р отк. = 1-p n-}

а абсолютная пропускная способность

А = λQ. (11.8)

Среднее число заявок, находящихся в очереди, находится по формуле (4.8) и равно:

L_оч =^ipn_+i =pn -^ i ⁱ'^р . (11.9)

i=1

i⁼¹П(n+^)

l=1

Среднее число заявок, обслуживаемых в СМО, находится по формуле (4.7) и равно

nm

L_обс=Tjk'pk+Tjn'pn_+i (11.10)

k=1 i=1

Среднее время пребывания заявки в СМО складывается из среднего времени ожидания в очереди и среднего времени обслуживания заявки, т.е.

смо обс ож ож.

(11.11)

26

Пример 12. В парикмахерской работают 3 мастера. За 1 час в парикмахерскую приходят в среднем 10 человек. Среднее время обслуживания клиента каждым мастером - 20 минут. Зал ожидания рассчитан на 4 места. Среднее время ожидания клиента в очереди t_ож -10 минут. Найти характеристики СМО.

Решение. Имеем: n = 3, m = 4, λ = 10 [час^-1], μ = 3 [час^-1], ρ = λ/μ =10/3, t_ож= (1/6)часа, v = 1/t_ож = 6 [час^-1], p = v//i = 2.

По формуле (11.2) находим р₀ - вероятность того, что все мастера свободны:

10 1 П0П 1 П0П 1 П0 1! 3 2! ^ 3 ) 3! ^ 3 ) 3! ^ 3

10/3 (10/3)² (10/3)³

+ + +

(3 + 1 • 2)(3 + 2-2) (3 + 1 • 2)(3 + 2 • 2)(3 + 3-2)

+

(10/3)

(3 + 1 • 2)(3 + 2 • 2)(3 + 3 • 2)(3 + 4-2)

« 0,0433.

По формуле (11.3) находим вероятности занятости одного, 2-х и 3-х мастеров:

3

p ₁ « 0,0433 « 0,1444; p₂ « — — • 0,0433 « 0,2407;

1! 3 2! ^ 3 '

3

р =p & — \— -0,433^0,2674; 3! V 3

По формуле (11.4) находим вероятности того, что в очереди 1, 2, 3, 4 человека:

(ю/)³

р_n+1 = 0,2674 • 1—-3 2 х

0,1783 ;

(10/3)³ (3 +1 ■ 2)(3 + 2 ■ 2)

74 (10 /3)³

р ₊₂ = 026 ■ « 0,0849 ;

⁷⁴ (ю/3)³

р ⁺³ « 0,26 ■ 1 '— « 0,0314 ;

(3 +1 • 2)(3 + 2 • 2)(3 + 3-2)

(10/3)³

^р 4 « 0,2674 •^^ ~ 0,0095 ; (3 +1 • 2)(3 + 2 • 2)(3 + 3 • 2)(3 + 4-2)

Вероятность отказа в обслуживании равна

ротк = р _m+4 ≈ 0,0095.

Относительная пропускная способность

Q = 1-р _отк ≈ 0,9905, а абсолютная пропускная способность равна

A = λQ ≈ 9,9[час^-1], т.е. примерно 10 человек в час, что практически равно интенсивности потока посетителей.

Среднее число клиентов в очереди найдём по формуле (11.9):

L_m = 1 • 0,1783 + 2 • 0,0849 + 3 • 0,0314 + 4 • 0,095 « 0,82,

т.е. менее одного человека. Среднее время пребывания посетителя в парикмахерской найдём по формуле (11.11):

Q 0,9905

t_cмo =^ + t_ox я мин + 10 мин х30мин.

27

§12. n- канальная СМО замкнутого типа с m источниками заявок.

Примером такой СМО может служить завод, имеющий m станков и n слесарей– наладчиков. Требующий наладки станок либо сразу же обслуживается, если свободен хотя бы один из слесарей, либо ожидает наладки в очереди, если все слесари заняты. При этом предполагается, что m > n.

Таким образом, максимальная длина очереди равна (m-n). Интенсивность обслуживания источников заявок μ = 1/t_обс, где t_обс - среднее время обслуживания объекта (источника заявок). Интенсивность потока требований каждого источника заявок равна λ= 1/t_раб, где t_раб - среднее время безотказной работы каждого объекта. Если под обслуживанием находятся k объектов, то интенсивность потока заявок в СМО будет равна (m - k)λ. Граф такой СМО представлен на рис.11.

S0

mλ

μ

S1

(m-1)λ

μ

-4-

S₂

(m-2)λ (m-n+1)λ

*… ~ * S_n

μ

(m-n)λ

_μ

Sn+1

(m-n)λ (m-n)λ

^ S n+(m-n)

"μ

μ\

Рис.11

Поскольку очередь ограничена, то финальные вероятности такой системы всегда существуют. Сравнивая граф на рис.11 с графом системы рождения и гибели на рис.3 легко увидеть, что граф на рис.11 получается из графа на рис.3 в результате следующих замен (слева находятся обозначения системы рождения и гибели):

Sg → Sn+(m-n); Sk → Sk, (k = 0,m-1);

(12.1)

\^( m-k)Я, (k = 0,n-1); \^(m-n)Я, ( k = n,m)

ju_k^ju, (k = 0,m-1)

С учётом (12.1) формулы для финальных вероятностей (4.2) и (4.3) запишутся в виде

{ где ρ ≠ 1(m - n),

1-(m-n)-р

(12.2)

(12.3) (12.4)

p ₀ =}_{1+mр+m(m-1)р2 +...+m ( m-1)..[m-(n-1)] _n +m-(m-1)..[m-(n-1)]-(m-n) _{n +}1 ■ [()]

k

p_n+i = p_n\m-n ) р,

p_k=m ( m- 1 ) ... m-n- 1 )]р^кр₀ , ( = 1,n )

i i (i = 1,m-n)

Образование очереди происходит, когда в момент поступления в СМО очередной заявки все n каналов заняты, т.е. когда в СМО будет находиться либо n, либо (n + 1),…, либо (n + m - 1) заявок. В силу несовместности этих событий вероятность образования очереди р_оч будет равна сумме соответствующих вероятностей р_n, p_n+1, …, p_{n+m -1}:

роч = ^{m n 1}upn₊i=pn- ~}_-^Р\ ( m-n )-Р. (12.5)

_i=1 1( m n ) Р

Поскольку отказа в обслуживании заявки нет, то p_отк = 0 и относительная пропускная способность Q равна

Q = p _обс = 1 - ротк = 1, (12.6)

а абсолютная пропускная способность

28

А = λ ·Q = λ. (12.7)

Среднее число занятых каналов n ₃ (оно равно L_обс - среднему числу обслуживаемых

заявок) в данном случае нельзя находить по формуле n ₃ = А/μ, поскольку состояние

системы «поток заявок» зависит от состояния системы «число объектов», и n ₃ надо

находить по формуле (5.7). В результате получим:

nn

n ₃ =2kp_k =2_k-m ( m-1 )..[ m- ( k-1 )]^к -p₀. (12.8)

k=1 k=1

Среднее число заявок, находящихся в очереди (L_оч), найдём по формуле(5.8):

m - n m - n

Lоч = 2i • pn₊i = pn ■ Yj ' ( m - n) ⁱ ' Рⁱ . (12.9)

i=1 i=1

Поскольку среднее число обслуживаемых заявок L_оч = n₃, то среднее число заявок, находящихся в СМО, равно

L_смо=n₃+L_оч. (12.10)

Среднее время, проводимое заявкой в СМО равно

— L ^оч A L ^оч

tсмо=—+—=— + Р. (12.11)

При ρ = 1/( m - n) в последнем слагаемом в (12.2) возникает неопределённость типа 0/0. Раскрывая эту неопределённость и отмечая штрихом соответствующие величины, получим:

p ₀ =

m m(m-1) m(m-1)..[ m- ( n-1 )]}

2 n ( . )

m-n (m-n )² "' (m-n ) ⁿ

р'k =m(m-1)..[m-(n-1)]- k ( k = 1,n ) (12.13)

(m - n)

p'_n+i=p'n, ( i = 1,m-n) (12.14)

p'_оч = (m - n)p'_n (12.15)

n1=^km(m -1 )...[ m-(k- 1 ) ]• ^p0 _n (12.16)

k = 1 ₍ f I - )

L'_m = 2 (m -n)(m -n + 1)p[ (12.17)

Среднее время пребывания заявки в СМО и в очереди определяется формулами (4.9) и (4.10).

Пример 13. Пять ткачих обслуживают 20 ткацких станков. Средняя продолжительность бесперебойной работы станка-30 минут, устранение неисправности (обрывания нити) занимает в среднем 1,5 минуты. Найти характеристики СМО.

Решение. Имеем: n = 5, m = 20, λ = 1/30 [мин]-¹, μ = 2/3 [мин]-¹, ρ = λ / μ = 1/20. Поскольку ρ ≠ 1(m - n), то р₀ находим по формуле (12.2)

29

' 1 ^Л _ч20,

3

+

+ 20-19-18.

р0 =

(—1 ,20,

15

+

« 0,1463,

20

2

1 f 1 ^

1 + 20 + 20-19- —

20 y20j

6

1 ^ _v20_y

1-

•

20-19-18-17-16-15

1-

20191817-

С 1 ^ _V20_y

4

+

20-19-18-17-16-

1 ^ _V20_y

5

+

5

•0,1463 «0,085

рn = р5 «20 19 18 17 16- 1

y j

20

-вероятность того, что заняты все ткачихи.

Вероятность образования очереди находим по формуле(12.5):

15

•15 1 « 0,25.

1- 15

1- [15 p_оч « 0,085 • ^

Среднее число ткачих, занятых обслуживанием станков находим по формуле (12.8):

1

n₃

1

20

1

v20y

2

+ 3-20-19-18-

1 ^л v20y

3

+ 4-20-19-18-17-

_V20_y

4

+

+ 5-20-19-18-17-16-

1

_V20_y

.

0,1463*1,65.

Среднее число станков, находящихся в очереди, находим по формуле (12.9):

L _о2 ^{3 1}5

_ч =0,085- [ 1-(15 1 + 2- \15\ +3-(15) + --- + 15'(20) ]*0,785.

смо n 3 оч. ~ 1,65+ 0, 785

2,435.

оч.

Полное число неработающих станков равно