
- •Лабораторная работа № 1
- •Краткое теоретическое введение
- •Задание на работу.
- •Контрольные вопросы
- •Лабораторная работа № 2 Тема: “Решение задач интерполяции и экстраполяции”.
- •Краткое теоретическое введение.
- •Задание к работе
- •Контрольные вопросы
- •Варианты заданий на лаб работу 1
- •Варианты заданий на лаб. Работу 2
Лабораторная работа № 1
Тема: “Решение дифференциальных уравнений I и II порядка”.
Цель работы: изучение численных методов решения дифференциальных уравнений I и II порядка.
Краткое теоретическое введение
1. Методы Эйлера численного решения дифференциальных уравнений первого и второго порядков.
Метод численного решения дифференциального уравнения первого порядка
(1)
с начальным условием
основан на разложении решения в ряд
Тейлора в
-окрестности
точки
:
При отбрасывании всех членов ряда,
содержащих производные второго и высших
порядков получим:
,
где
-правая
часть уравнения (1).
Пользуясь значением
из разложения
в
-
окрестности точки
получим
(2)
Аналогично продолжая для следующей
точки
,
получим
(3)
Если дано уравнение второго порядка
(4)
с начальными условиями
и
,
то как такое уравне- ние можно свести к
системе двух уравнений первого порядка
,
(5)
причем
и
.
Тогда приближенные значения функций
и
в точке
можно высислить по формулам
,
(6)
где
-
правая часть уравнения (4).
При достаточно малой величине шага
метод Эйлера дает решение с большой
точностью, т.к. погрешность решения
близка к
.
2. Методы Рунге-Кутта численного решения дифференциальных уравнений первого и второго порядков.
Пусть дано дифференциальное уравнение первого порядка с начальным условием .
Последовательные значения
искомой функции
определяются по формуле
где
,
-
коэффициенты, которые вычисляются по
формулам
где - шаг интегрирования;
- правая часть дифференциального уравнения, разрешенного относительно производной.
Если дано уравнение второго порядка с начальными условиями и , то как такое уравне- ние можно свести к системе двух уравнений первого порядка
,
причем и .
Тогда приближенные значения функций и можно вычис- лить по формулам
,
где
-
коэффициенты вычисляемые по формулам
,
где - шаг интегрирования;
-
правая часть дифференциального уравнения,
разрешенного относительно производной.
Метод Рунге-Кутта применим также для
приближенного решения систем обыкновенных
дифференциальных уравнений, применяя
формулы для каждого уравнения в
отдельности. При этом погрешность
интегрирования - есть величина порядка
.
Задание на работу.
1.По указанию преподавателя или в соответствии с вариантом из Таблиц 1 и 2 заданий (см. Приложение) взять условия – дифференциальные уравнения первого и второго порядка, начальные условия, границы отрезка интегрирования и шаг интегрирования.
2.Изучить методы численного решения дифференциальных уравнений первого и высших порядков.
3.На основании формул методов Эйлера и Рунге-Кутта, составить блок-схему и программу для решения дифференциального уравнения первого порядка. Сравнить результаты. Затем шаг принять, равный 0.1h и повторить расчеты. Сделать выводы.
4.Представить дифференциальное уравнение II порядка в виде системы дифференциальных уравнений I порядка .
5.Составить блок-схему алгоритма и программу решения систем дифференциальных уравнений первого порядка методами Эйлера и Рунге - Кутта. Предусмотреть вывод значения контрольной функции в точках табулирования.
Содержание отчета: титульный лист, тема и цель работы, № варианта задания и собственно задание, описание методов решения дифференциальных уравнений, математическая постановка задачи и определение области допустимых значений (ОДЗ), блок-схема алгоритма, текст программы и результаты её работы. Работу программы студент обязан показать на ПЭВМ.