- •Погрешности измерений и представление результатов измерений
- •Виды и Классификация погрешностей
- •Формы числового выражения погрешностей
- •Методическая и инструментальная погрешности.
- •Аддитивная и мультипликативная погрешности.
- •Статическая и динамическая погрешность.
- •Характер проявления погрешностей.
- •Случайная погрешность.
- •Свойства нормального распределения.
- •Вероятная погрешность.
- •Пример:
- •Систематическая погрешность.
- •Погрешность Косвенных измерений.
- •Прямые и косвенные измерений
- •Однократные и многократные измерения в технике.
- •Прямое однократное измерение
- •Контрольные вопросы
Погрешность Косвенных измерений.
Полная величина погрешности измерений (абсолютная погрешность) складывается из случайной погрешности и неисключенного остатка систематической погрешности , = + . Если учесть, что усредненное по большому количеству реализаций значение случайной погрешности равно нулю, а НСП суть постоянная величина, то среднеквадратическое значение полной погрешности измерений будет равно:
Результат косвенных измерений получается в итоге выполнения некой вычислительной процедуры над данными прямых измерений и включает в неявном виде систематическую и случайную составляющие. Отсюда естественно вытекает, что окончательная погрешность косвенных измерений должна быть связана с погрешностью прямых измерений некой функциональной зависимостью.
Пусть определяемая в процессе косвенных измерений неизвестная величина Z есть функция нескольких (i) величин Xi, значения которых можно получить из опытных данных.
(19)
Пусть также систематическая и случайная составляющие погрешностей определения величин Xi являются малыми и равны соответственно i и i. Тогда полная погрешность косвенного измерения равна Xi=i+I и ее тоже можно считать малой, Хi/Хi <<1. Возможны два подхода к оценке величины результирующей погрешности измерений величины Z.
При первом подходе, который наиболее часто используется в обычной практике, оценивается результирующая (суммарная) погрешность косвенного измерения без раздельного выделения систематической и случайной погрешностей косвенного измерения.
Если продифференцировать уравнение (19) и перейди от дифференциалов к конечным приращениям, то для приращения Z получим:
(20)
По физической сущности полученное приращение Z есть абсолютная погрешность косвенных измерений величины Z, выраженная через абсолютные погрешности измерения Xi величин Xi.
Соответственно относительная погрешность косвенных измерений будет равна:
где: (21)
Рассмотрим два типичных случая.
а). Пусть Z=XnYm. Тогда относительная погрешность косвенного измерения величины Z, выраженная через случайные погрешности измерения величин X и Y, согласно формуле (21) будет равна:
. (22)
Отсюда видно, что при значениях показателей степени n,m>1 вклад погрешности прямого измерения в результирующую относительную погрешность косвенного измерения будет усиливаться пропорционально показателю степени.
б). Пусть Z=X+Y-W. Величина относительной погрешности косвенного измерения, полученная из уравнения (21), будет равна:
(23)
Следовательно, при определенном соотношении измеренных значений величин X, Y, W, таком, что X+YW, результирующая погрешность косвенного измерения величины Z, как следует из (23), может оказаться весьма велика. Причем даже случае, когда погрешности измерения величин X, Y и W достаточно малы, X, Y, W 0.
Второй более полный и строгий подход к определению величины случайной погрешности косвенных измерений является метод, основанный на представлении искомой физической величины в виде ряда Тэйлора.
Пусть величина Z является функцией двух величин X и Y, значения которых получены в прямых измерениях, тогда:
; (24)
Будем считать величину погрешностей малой по сравнению с действительными значениями величин и представим результирующую погрешность ∆ в виде суммы неисключенного остатка систематической погрешности (НСП) θ и случайной составляющей δ:
(25)
Разложим функцию F(X,Y) в ряд Тэйлора и отбросим члены разложения выше 2-го порядка. Тогда для погрешности косвенного измерения (т.е. малого приращения величины Z) получим следующее выражение:
(26)
Из уравнения (26) следует, что если ограничиться в разложении Тэйлора только членами первого порядка, то получим обычное выражение для погрешности, по форме соответствующее (21):
Если теперь усреднить левую и правую части разложения (26) и учесть, что при усреднении по большому числу измерений средняя величина случайной погрешности стремится к нулю, то для систематической погрешности косвенного измерения с учетом членов 2-го порядка получим:
…(27)
Отсюда вытекает, что при косвенных измерениях систематическая погрешность определяется не только величиной НСП прямых измерений величин X и Y, но и случайными погрешностями их измерения Х и Y.
Во-первых, второе и третье слагаемые в правой части выражения (27) указывают, что необходимость введения поправок на систематическую погрешность к результатам косвенного измерения может возникать даже тогда, когда при очень малых НСП прямых измерений равна θX, θY0, величины случайных погрешностей X и (или) Y окажутся достаточно велики.
Во-вторых, последнее слагаемое в правой части () включает корреляционный момент RXY, который служит мерой линейной статистической связи случайных величин X и Y:
Следовательно, на величину систематической погрешности косвенных измерений может оказывать сильное влияние наличие корреляционных связей между случайными погрешностями величин X и Y. Эта статистическая связь может носить самый разнообразный характер, который определяется свойствами объекта и методикой проведения измерений. Отличие корреляционного момента от нуля, RXY ≠ 0, означает, что случайные величины X и Y обнаруживают тенденцию к синхронному изменению под воздействием каких-либо внешних факторов, например, температуры внешней среды. Их изменение может быть однонаправленным, RXY >0 – положительная корреляция, которая приведет к увеличению погрешности косвенного измерения, или разнонаправленным, RXY <0 - отрицательная корреляция, следствием которой будет уменьшение результирующей погрешности. При RXY =0 корреляция отсутствует и величины X и Y будут независимы (некоррелированы).
В косвенных измерениях случайная погрешность измерений может трансформироваться в систематическую
Из этих примеров ясно видно, что при выборе метода косвенного измерения физической величины надо очень внимательно подходить к анализу физических законов и соответствующих вычислительных процедур, которыми определяется связь этой величины с измеряемыми параметрами.
Погрешности в технических измерениях
Рассмотренные выше понятия «прямых» и «косвенных», «однократных» и «многократных» измерений возникли и развивались прежде всего применительно к задачам метрологии, к практике метрологических измерений. В технике ограничено время, отводимое на получение и обработку измерительной информации, а сами задачи измерений принципиально отличаются от метрологических, Соответственно в технических измерениях требуется дополнительное уточнение этих понятий, методов и процедур определения погрешностей. При этом, конечно, все основные метрологические принципы и остаются неизменными.
Метрологические требования.
В метрологии все измерительные процедуры должны обеспечивать совокупное выполнение четырех условий – достижение максимальной точности, правильности, воспроизводимости и сходимости результатов измерений. Иная ситуация в технике, где требования максимальной точности или правильности измерений далеко не всегда являются главными.
Различные задачи технических измерений предъявляют и различные требования к метрологическим характеристикам процедуры результатов измерений.
1. Результаты измерений являются исходными данными для принятия решений в системах автоматического управления. В этом случае величина погрешности измерений должна быть известна заранее и не может выходить за установленные границы. Превышение реальной величины погрешности измерений над той, которая заложена в алгоритме САУ, является достаточно распространенной и очень трудно выявляемой причиной отказов или неудовлетворительной работы систем управления.
Основным метрологическим требованием является максимальная (желательно абсолютная) сходимость результатов измерений, т.е. качество измерений, отражающее близость друг к другу результатов повторных измерений, выполняемых в одинаковых условиях. Критерии точности, воспроизводимости и правильности определяются особенностями конкретного объекта управления и параметрами системы управления.
2. В задачах контроля качества продукции требуется, чтобы истинное значение физической величины находилось в пределах границ допусков, заданных техническим регламентом или документацией. Этим определяются требования к точности и правильности измерений. Но при всех условиях необходимы максимальная сходимость и воспроизводимость измерений.
3. При исследовании, анализе и идентификации технических систем обычно используют стандартные для этих систем методы и средства измерений со свойственными им метрологическими характеристиками. К этой же группе относятся и задачи по определению систематических погрешностей самих измерений (см. выше ). Главное отличие измерений этой группы состоит в том, что обработка измерительной информации не связана с временными ограничениями и может выполняться с использованием методов, отличных от стандартных. В результате точность и правильность измерений повышается при сохранении первоначальной сходимости и воспроизводимости. Метрологические характеристики этого типа измерений определяют достоверность и надежность решений о принятии или отклонении тех или иных физических или математических моделей анализируемого объекта.