Введение

Система массового обслуживания (СМО) — система, которая производит обслуживание поступающих в неё требований. Обслуживание требований в СМО производится обслуживающими приборами. Классическая СМО содержит от одного до бесконечного числа приборов. В зависимости от наличия возможности ожидания поступающими требованиями начала обслуживания СМО подразделяются на

1. системы с потерями, в которых требования, не нашедшие в момент поступления ни одного свободного прибора, теряются;

2. системы с ожиданием, в которых имеется накопитель бесконечной ёмкости для буферизации поступивших требований, при этом ожидающие требования образуют очередь;

3. системы с накопителем конечной ёмкости (ожиданием и ограничениями), в которых длина очереди не может превышать ёмкости накопителя; при этом требование, поступающее в переполненную СМО (отсутствуют свободные места для ожидания), теряется.

Выбор требования из очереди на обслуживание производится с помощью так называемой дисциплины обслуживания. Их примерами являются FCFS/FIFO (пришедший первым обслуживается первым), LCFS/LIFO (пришедший последним обслуживается первым), random  (англ.)(случайный выбор). В системах с ожиданием накопитель в общем случае может иметь сложную структуру.

Основные понятия СМО:

Требование (заявка) — запрос на обслуживание.

Входящий поток требований — совокупность требований, поступающих в СМО.

Время обслуживания — период времени, в течение которого обслуживается требование.

Математическая модель СМО — это совокупность математических выражений, описывающих входящий поток требований, процесс обслуживания и их взаимосвязь.

Целью данного курсового проекта является анализ СМО и так же определение таких критерий как

• Время обслуживания системы

• Количество поступивших заявок

• Количество обслуженных заявок

• Количество отказанных заявок

• Интенсивность поступления заявки

• Интенсивность обслуживания заявки

• Относительная пропускная способность

• Абсолютная пропускная способность

• Количество занятых каналов

• Время простоя системы

• Вероятность простоя системы

• Вероятностьотказа

Постановка задачи

Построить модель СМО и исследовать поведение характеристик её эффективности.

Описание системы:

Имеется двухканальная система массового обслуживания с отказами, на которую поступает произвольный поток заявок. Поступившие заявки попадают на обслуживание. Поток обслуживается произвольно.

λ	µ	Потоки
		Входной	Обслуживания
5	6	Э, к=5	Э, к=3

Теоритическая часть

Большой класс систем, которые сложно изучить аналитическими способами, но которые хорошо изучаются методами статистического моделирования, сводится к системам массового обслуживания (СМО).В СМО подразумевается, что есть типовые пути (каналы обслуживания), через которые в процессе обработки проходят заявки. Принято говорить, что заявки обслуживаются каналами. Каналы могут быть разными по назначению, характеристикам, они могут сочетаться в разных комбинациях; заявки могут находиться в очередях и ожидать обслуживания. Часть заявок может быть обслужена каналами, а части могут отказать в этом. Важно, что заявки, с точки зрения системы, абстрактны: это то, что желает обслужиться, то есть пройти определенный путь в системе. Каналы являются также абстракцией: это то, что обслуживает заявки.Заявки могут приходить неравномерно, каналы могут обслуживать разные заявки за разное время и так далее, количество заявок всегда весьма велико. Все это делает такие системы сложными для изучения и управления, и проследить все причинно-следственные связи в них не представляется возможным. Поэтому принято представление о том, что обслуживание в сложных системах носит случайный характер.Систему испытывают случайными входными сигналами, подчиненными заданному статистическому закону, а в качестве результата принимают статистические показатели, усредненные по времени рассмотрения или по количеству опытов все модели СМО собираются типовым образом из небольшого набора элементов (канал, источник заявок, очередь, заявка, дисциплина обслуживания, стек, кольцо и так далее), что позволяет имитировать эти задачи типовым образом. Для этого модель системы собирают из конструктора таких элементов. Неважно, какая конкретно система изучается, важно, что схема системы собирается из одних и тех же элементов. Разумеется, структура схемы будет всегда различной.

Перечислим некоторые основные понятия СМО:

Каналы — то, что обслуживает; бывают горячие (начинают обслуживать заявку в момент ее поступления в канал) и холодные (каналу для начала обслуживания требуется время на подготовку).Источники заявок — порождают заявки в случайные моменты времени, согласно заданному пользователем статистическому закону. Заявки, они же клиенты, входят в систему (порождаются источниками заявок), проходят через ее элементы (обслуживаются), покидают ее обслуженными или неудовлетворенными. Бывают нетерпеливые заявки — такие, которым надоело ожидать или находиться в системе и которые покидают по собственной воле СМО. Заявки образуют потоки — поток заявок на входе системы, поток обслуженных заявок, поток отказанных заявок. Поток характеризуется количеством заявок определенного сорта, наблюдаемым в некотором месте СМО за единицу времени (час, сутки, месяц), то есть поток есть величина статистическая.

Очереди характеризуются правилами стояния в очереди (дисциплиной обслуживания), количеством мест в очереди (сколько клиентов максимум может находиться в очереди), структурой очереди (связь между местами в очереди). Бывают ограниченные и неограниченные очереди. Перечислим важнейшие дисциплины обслуживания. FIFO (First In, First Out — первым пришел, первым ушел): если заявка первой пришла в очередь, то она первой уйдет на обслуживание. LIFO (Last In, First Out — последним пришел, первым ушел): если заявка последней пришла в очередь, то она первой уйдет на обслуживание (пример — патроны в рожке автомата). SF (Short Forward — короткие вперед): в первую очередь обслуживаются те заявки из очереди, которые имеют меньшее время обслуживания.

Необходимая теория для решения данного курсового проекта

Моделирование экспоненциальной случайной величины

Экспоненциальная случайная величина x имеет функцию распределения величины:

F(t) = 1 - e^-λt,

Для экспоненциальной случайной величины x:

M(x) = 1 / λ, D(x) = 1 /λ².

Записываем формальное уравнение F(x) =1 – e^-λt = z.

Решаем его относительно x:

x = - (1/λ ) ln (1- z) (1.4)

Формулу (1.4) можно упростить, заменив (1 - z) на z, так как обе эти величины совпадают по распределению. Тогда получаем:

x = - (1 / λ ) ln (z).

Моделирование эрланговской случайной величины

Эрланговская случайная величина имеет функцию распределения величины:

, где k - порядок распределения.

В данном случае для реализации эрланговской случайной величины используем точную реализацию случайной величины x, как функции от других случайных величин.Итак, известно, что случайной величиной Эрланга k-го порядка называется сумма k независимых экспоненциальных случайных величин, имеющих одно и то же значение параметра λ . Согласно этому определению генератор эрланговской случайной величины x будет просто вычислять ее как сумму:

где zi - реализации БСВ, i = 1, ...,K.

Моделирование потока Эрланга основано это на том простом факте, что сумма случайных величин есть величина неслучайная. Чем больше мы сложим случайных величин, тем предсказуемее будет результат (их сумма). Для реализации средствами языков программирования используют соотношение:

,

где τэрк - случайная величина с распределением Эрланга k-го порядка;

τ _i- случайная величина, распределенная по показательному закону с параметром λ.

СМО с отказами

В качестве показателей эффективности СМО с отказами будем рассматривать:

А - абсолютную пропускную способность СМО, т.е. среднее число заявок, обслуживаемых в единицу времени;

Q - относительную пропускную способность, т.е. среднюю долю пришедших заявок, обслуживаемых системой;

Ротк - вероятность отказа, т.е. того, что заявка покинет СМО не обслуженной;

k - среднее число занятых каналов (для многоканальной системы).