5.3. Исследование решений задач линейного

ПРОГРАММИРОВАНИЯ НА ОПТИМАЛЬНОСТЬ

Схема проверки решения на оптимальность основана на исполь­зо­ва­нии 2-ой теоремы двойственности.

2 теорема двойственности. Для того, чтобы допустимые решения прямой и двойственной задач

и

были оптимальными, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись ус­ло­вия:

(1) если , то ;

(2) если , то ; (6)

3. если , то ;

4. если , то ,

где - -ый столбец , - -ая строка матрицы .

Эта теорема позволяет установить оптимальность допустимого решения одной задачи на основании анализа системы линейных урав­­нений, полученных из соотношений (1)-(4) формул (6).

Схема проверки на оптимальность допустимого решения прямой задачи:

1) построить множества ;

2) построить систему уравнений относительно двойственных пе­ре­менных из условий (6)

(7)

3) если система (7) противоречива, то план не является оп­ти­­маль­ным, ина­че проверить, есть ли среди решений системы (7) до­пустимые решения двойственной задачи; если проверка за­вер­шит­ся обнаружением допустимых решений двойственной задачи, то - оптимальное решение прямой задачи, и иначе не является оп­­тимальным.

Пример 7. Проверить на оптимальность решения и следующей задачи ЛП (прямая):

Прямая задача:		Двойственная задача:
	

а) исследуем на оптимальность решение . Строим множества и систему уравнений (6):

Таким образом, - оптимальное решение прямой задачи, а - оптимальной решение двойственной;

б) Проверим теперь на оптимальность решение . Следует заметить, что в этом случае достаточно сравнить значения фун­к­ций и сделать вывод, однако проведем исследова­ние с помощью предложенной схемы. Строим множества и систему уравнений (6):

.

Но , так как . Следовательно, не является оптимальным решением исходной задачи.

▀

Пример 8. Проверить на оптимальность решение следующей задачи:

Прямая задача:		Двойственная задача:
	

Выпишем условия (6), учитывая, что :

.

Выясним, есть ли среди полученных решений допустимые решения двойственной задачи. Для этого подставим найденное решение в 1-ое и 2-ое ограничения и в условия двойственной задачи:





Последняя система не противоречива, поэтому решение яв­ляет­ся оптимальным.

▀

Пpимеp 9. Найти значения параметра , при котором решение является оптимальным решением прямой задачи:

Прямая задача:		Двойственная задача:
	

Выписываем условия (6) ( ) :

Проверим, существуют ли допустимые решения двойственной за­да­чи среди найденных и при каких значениях . Подставим полу­чен­ные реше­ния в те ограничения двойственной задачи, которые не ис­пользовались при построении условий (6). Получим:

Итак, для решение является оптимальным решением прямой задачи.

▀

З а м е ч а н и е. Для задач в канонической фоpме и двойственных к ним

условия оптимальности имеют вид 1), 4) формул (6):

если , то ;

(7)

если , то .

Пpимеp 10. Пpовеpить, является ли допустимое решение прямой задачи линейного программирования оп­ти­мальным решением:

Прямая задача:		Двойственная задача:
	

Выпишем условия (7):

Подставляем найденное решение в 1-ое, 3-е и 4-ое ограничения двойственной задачи:

Итак - оптимальное решение прямой задачи, а - оптимальные решения двойственной задачи.

▀