1. Обоснование допустимости свертки. Рассматриваемые показатели эффективности должны быть однородными. Показатели эффективности делятся на три группы: показатели результативности, ресурсоемкости, оперативности. Разрешается свертка показателей отдельно в каждой группе.

2. Нормализация критериев для их сопоставления. Проводится подобно нормировке показателей: для каждого критерия определяется оптимальное значение и вместо k_i(a) рассматриваются k_i(a)/k_i^opt.

3. Учет приоритетов критериев (весовых коэффициентов). Строится вектор коэффициентов важности критериев =(₁, ₂…_n), _i=1. Вместо исходной векторной оценки K(a) = (k₁(a), k₂(a)… k_n(a)) рассматривается новая векторная оценка (₁k₁(a), ₂k₂(a)… _nk_n(a)).

4. Построение f –свертки.

а) Аддитивная свертка – сумма взвешенных нормированных частных критериев:

. (4.5)

Используется принцип: справедливым следует считать такой компромисс, при котором суммарный уровень абсолютного снижения значений одного или нескольких показателей не превышает суммарного уровня абсолютного увеличения значений других показателей. Недостаток: аддитивные критерии не вытекают и объективной роли частных критериев, это формальный математический прием. Низкие оценки по одним критериям могут компенсироваться высокими оценки по другим критериям.

б) Мультипликативная свертка – произведение

. (4.6)

При равно важности критериев _i=1. Используется принцип справедливой относительной компенсации: суммарный уровень относительного снижения значений одних критериев не превышает суммарного уровня относительного увеличения других критериев.

В математической форме такое условие оптимальности имеет вид:

. (4.7)

Полагая , получаем

. (4.8)

Достоинства: не требуется нормировки частных критериев.

Недостатки: компенсирует недостаточную величину одного частного критерия избыточной величиной другого, сглаживает уровни частных критериев за счет неравнозначных первоначальных значений.

в) Если недопустима компенсация значений одних показателей другими, т.е. требуется обеспечить равномерное подтягивание всех показателей к наилучшему уровню, то используют следующую агрегирующую функцию:

. (4.9)

г) Общий случай функции свертки:

, (4.10)

где p – допустимая степень компенсации малых значений одних показателей большими значениями других равноценных показателей: чем больше p, тем больше степень возможной компенсации. При p→ –  не допускается компенсация, формула (4.10) дает результаты, совпадающие с формулой (4.9). При p→0 – обеспечение примерно одинаковых уровней частных показателей, в пределе (4.10) будет совпадать с (4.6). При p=1 – совпадение (4.10) и (4.5). Во всех предельных случаях предполагается _i=1/n.

д) Если одни показатели желательно увеличивать, а другие уменьшать, то иногда используют функцию агрегирования в виде отношения одних показателей к другим, например:

. (4.11)

В числителе произведение значений показателей, которые нужно увеличить, в знаменателе сумма значений показателей, которые нужно уменьшать. Часто первая группа связана с целевым эффектом, вторая – с затратами на его достижение. При этом показатели не должны быть однородными.

Условия применимости рассмотренных методов из-за их эвристического характера не могут быть четко сформулированы. От этого недостатка свободна группа методов, основанная на теории полезности.

Лекция 5 Оценка сложных систем в условиях риска и в условиях неопределенности

5.1. Оценка сложных систем в условиях риска на основе функции полезности

Операции, выполняемые в условиях риска, называются вероятностными. Нет однозначного соответствия между операциями и исходами. Каждой системе a_i (i=1,2…n) ставится в соответствие множество исходов {y_k}, k=1,2…m с известными условными вероятностями p(y_k/a_i). Эффективность систем в вероятностных операциях находится как мат.ожидание функции полезности на множестве исходов: K(a)=M_a[F(y)]. При дискретных значениях показателей исходов y_k, k=1,2…m, имеющих условные вероятности p(y_k/a_i) и полезность F(y_k):

При непрерывных значениях показателей исходов:

где - плотность вероятностей исходов, - допустимая область векторного пространства исходов.

Критерий оптимальности для вероятностных операций имеет вид:

Это оценка «в среднем».

Главный недостаток – не исключен случай выбора неоптимальной системы для конкретной реализации системы (или операции). Однако при многократном повторении операции оптимальная в среднем система приведет к наибольшему успеху.

Т.е. сведение задачи оценки систем к вероятностной постановке применимо для операций, имеющих массовый характер, для которых существует возможность определить объективные показатели исходов, вероятностные характеристики и законы распределения вероятностей на множестве исходов операции.

Кроме оптимизации «в среднем» в вероятностных операциях используются и другие критерии оценки систем:

• максимум вероятности случайного события,

• максимум степени вероятностной гарантии достижения результата не ниже требуемого уровня,

• минимум среднего квадрата отклонения результата от требуемого,

• минимум дисперсии результата.

Пример. Оценка вариантов размещения оборудования по производству некоторого продукта. Исследуемая операция – производство деталей; системы a_i – варианты размещения оборудования, ПИО (показатель исхода операции) – число деталей y_k за некоторый период времени.

	Исходные данные			вычисляем
ai	yj	p(yj/ai)	F(yj):	K(ai)
Вариант 1	600	0.3	0.8	0.51
	400	0.5	0.5
	200	0.2	0.1
Вариант 2	600	0.25	0.8	0.515
	400	0.6	0.5
	200	0.15	0.1
Kopt=max(K(ai))= K(a2)=0.515