Расчёт одноконтурной системы автоматического регулирования

1. Исходные данные

Дана системы регулирования с ПИ- регулятором и объектом регулирования с передаточной функцией

.

Параметры передаточной функции объекта, требования к запасу устойчивости системы, критерий оптимальной настройки приведены в таблице 1.

Таблица 1 – Исходные данные по варианту

Номер варианта	K	n	T	ψ	I
15	1.5	2	80	0.8	I1
(c); (c);
Обозначения: K – коэффициент передачи объекта; τ – запаздывание объекта; Ti – i-я постоянная времени объекта; n – порядок объекта; ψ – требуемая степень затухания переходных процессов в системе; I – заданный интегральный критерий качества работы системы ; .

2. Структурная схема одноконтурной аср

Структурная схема системы регулирования, приведенная в задании имеет вид:

Y

S

ε

W_P(P)

W_об(P)

F

Рисунок 1 - Структурная схема заданной системы регулирования

Учитывая исходные данные, приведенные ранее структурную схему системы регулирования можно преобразовать к виду:

F

Y

ε

S

Рисунок 2 - Преобразованная структурная схема заданной системы регулирования

3. Расчёт и построение границы заданного запаса устойчивости аср

Для расчёта и построения границы заданного запаса устойчивости АСР с ПИ-регулятором, представленной на рисунке 1, воспользуемся корневым методом параметрического синтеза систем автоматического регулирования с применением расширенных амплитудно-фазовых частотных характеристик (РАФЧХ).

Используя исходные данные, приведенные в таблице 1, можем записать, что для заданной системы регулирования установлены следующие требования к запасу устойчивости системы: степень затухания переходного процесса в системе .

Исходя из этого, зная зависимость между степенью затухания переходных процессов в заданной системе регулирования ψ и степенью колебательности переходных процессов в заданной системе регулирования m, можно определить значение заданной степени колебательности m системы по формуле:

(1)

где ψ - степенью затухания переходных процессов в заданной системе регулирования.

Передаточная функция объекта регулирования согласно исходных данных определяется по формуле:

(2)

где p – оператор Лапласа.

При n=2 выражение для примет вид примет вид:

(3)

По данным таблицы 1 определяем значения неизвестных параметров: К=1.5 , , T₁=80 , T₂=40. Тогда после подстановки значений выше приведенных параметров получаем окончательное выражение для передаточной функции объекта регулирования:

(4)

Определим расширенные частотные характеристики объекта регулирования. Расширенные частотные характеристики какого-либо звена можно получить подстановкой в передаточную функцию этого звена W(P) оператора или , в выражениях для оператора Лапласа ω – частота, с^-1. В первом случае расчётные формулы метода обеспечивают получение границы заданной степени колебательности системы m, а во втором - получение границы заданной степени устойчивости системы в пространстве параметров настройки регулятора.

Заменим в формуле (4) оператор , в результате получаем выражение для РАФЧХ объекта регулирования:

(5)

Используя математический пакет MAthCad, предварительно задав начальное значение частоты =0 с^-1 и шаг по частоте с^-1, рассчитываем расширенные частотные характеристики объекта при изменении частоты до ω=0,20 с^-1.

Расширенная вещественная частотная характеристика (РВЧХ):

Re_об(m,ω)=Re(W_об(m,iω)) (6)

Расширенная мнимая частотная характеристика (РМЧХ):

Im_об(m,ω)=Im(W_об(m,iω)) (7)

Расширенная амплитудно-частотная характеристика (РАЧХ)

(8)

Расширенная фазо-частотная характеристика (РФЧХ):

(9)

Результаты расчётов сведём в таблицу 2, приведенную ниже.

Таблица 2 – Расширенные частотные характеристики объекта регулирования

частота ω, с-1	Reоб(m,ω)	Imоб(m,ω)	Аоб(m,ω)	φоб(m,ω), рад
0	1,5	0	1,5	0
0,005	1,249	-0,984	1,59	-0,667
0,01	0,386	-1,326	1,381	-1,288
0,015	-0,227	-1,052	1,076	-1,358
0,02	-0,455	-0,673	0,812	0,976
0,025	-0,478	-0,386	0,615	0,679
0,03	-0,427	-0,203	0,474	0,443
0,035	-0,360	-0,092	0,372	0,251
0,04	-0,296	-0,027	0,298	0,09
0,045	-0,243	0,011	0,243	-0,047
0,05	-0,199	0,033	0,202	-0,167
0,055	-0,164	0,046	0,17	-0,273
0,06	-0,135	0,052	0,145	-0,368
0,065	-0,112	0,055	0,125	-0,456
0,07	-0,094	0,056	0,11	-0,536
0,075	-0,079	0,055	0,096	-0,612
0,08	-0,066	0,054	0,086	-0,683
0,085	-0,056	0,052	0,077	-0,75

Продолжение таблицы 2

0,09	-0,047	0,050	0,069	-0,815
0,095	-0,040	0,048	0,063	-0,877
0,100	-0,034	0,046	0,057	-0,936
0,105	-0,028	0,044	0,052	-0,994
0,110	-0,023	0,042	0,048	-1,05
0,115	-0,020	0,040	0,044	-1,105
0,120	-0,016	0,038	0,041	-1,158
0,125	-0,013	0,036	0,038	-1,211
0,130	-0,011	0,034	0,036	-1,262
0,135	-0,008	0,032	0,033	-1,313
0,140	-0,006	0,031	0,031	-1,362
0,145	-0,003	0,029	0,029	-1,412
0,150	-0,002	0,028	0,028	-1,46
0,155	-0,0004	0,026	0,026	-1,508
0,160	0,0007	0,025	0,025	-1,555
0,165	0,0017	0,024	0,024	1,539
0,170	0,0026	0,022	0,022	1,493
0,175	0,0034	0,021	0,021	1,446
0,180	0,0042	0,02	0,02	1,401
0,185	0,0048	0,019	0,02	1,355
0,190	0,0053	0,018	0,019	1,31
0,195	0,0058	0,017	0,018	1,265
0,200	0,0059	0,016	0,017	1,22

Расчётные формулы корневого метода для ПИ- регулятора имеют следующий вид:

(10)

(11)

В вышеприведенных формулах (10) и (11) - коэффициент передачи ПИ- регулятора, - постоянная интегрирования ПИ- регулятора.

Зададим диапазон изменения частоты с^-1 с шагом c^-1, определим настройки регулятора и К_р в заданном диапазоне частот. Результаты расчётов сведём в таблицу 3.

Таблица 3 –Результаты расчёта настройки ПИ- регулятора в заданном диапазоне частот

частота ω, с-1		Кр
0	0	-0,667
0,0025	0,00054	-0,544
0,005	0,00207	-0,394
0,0075	0,00442	-0,221
0,0100	0,00741	-0,024

Продолжение таблицы 3

0,0125	0,01084	0,193
0,0150	0,01452	0,429
0,0175	0,01822	0,682
0,0200	0,02173	0,951
0,0225	0,0248	1,233
0,0250	0,02719	1,526
0,0275	0,02865	1,829
0,0300	0,02893	2,14
0,0325	0,02775	2,456
0,0350	0,02487	2,776
0,0375	0,01999	3,099
0,0400	0,01285	3,421
0,0425	0,00318	3,742
0,0450	-0,0093	4,059
0,0475	-0,02487	4,371
0,05	-0,0438	4,676

По данным таблицы 3 построим график зависимости =f(K_p) ,т.е укажем границу заданного запаса устойчивости системы регулирования на рисунке 3.

K_p

Ψ= Ψ_зад=0,8

Рисунок 3 - Область параметров настройки ПИ- регулятора

Полученная кривая является линией заданной степени затухания Ψ= Ψ_зад=0,8 процесса регулирования, что соответствует степени колебательности m=0.256. Таким образом, все значения и K_p , лежащие на этой кривой, обеспечивают определенную степень затухания (в данном случае Ψ= Ψ_зад=0,8).

Значения и K_p , лежащие внутри области, ограниченной данной кривой и осями координат, обеспечат процесс регулирования со степенью затухания больше заданного (Ψ₁> Ψ_зад), а лежащие вне этой области – со степенью затухания меньше заданной (Ψ₁<Ψ_зад).