3. Моделирование работы динамической системы

3.1 Постановка задачи.

Исследуется переходный процесс в системе. структура которой показана на рис.3.1.

Система:

Математическая модель объекта № 1:

; (3.1)

начальные условия:

Математическая модель объекта № 2:

; (3.2)

начальные условия:

3.2 Приведение математической модели объекта к системе обыкновенных дифференциальных уравнений 1го порядка.

Вводится новая переменная .

В результате получаем систему уравнений:

(3.3)

3.3 Запись конечно-разностных аналогов дифференциальных уравнений

Используется неявная разностная схема:

(3.4)

После преобразований:

(3.5)

(3.6)

(3.7)

В компактной записи:

(3.8)

(3.9)

. (3.10)

где

(3.11)

3.4 Выбор шага интегрирования для обеспечения устойчивого решения.

Поскольку используется устойчивая явная разностная схема нет ограничений на выбор шага интегрирования.

3.5 Решение системы уравнений (3.8) – (3.10).

Решение проводится пошагово. Величина шага интегрирования задается. Внешнее воздействие описывается зависимостью: Процесс решения на каждом шаге интегрирования проводится итерационно с использованием метода Зейделя.

Условием окончания итерационного процесса на каждом шаге интегрирования будет одновременное выполнение условий (3.12):

, , (3.12)

где m – номер текущей итерации;

_F, _Y, _Z – величины абсолютных итерационных допусков для переменных F, Y, Z.

В расчетах величина абсолютного итерационного допуска принимается одинаковой для всех переменных =0,0001. Для снижения числа итераций на каждом шаге интегрирования проводится предварительное прогнозирование значений искомых параметров которые принимаются равными значениям полученным на предыдущем шаге.

Блок-схема расчетной программы представлена на рис.3.2.

3 .6 Блок- схема алгоритма моделирования

Текст программы приведен в Приложении.

3.7 Результаты моделирования.

Таблица 3.1 – Результаты моделирования

i T X Y F Z

0 0.00000 0.50000 0.00000 0.00000 0.00000

1 0.10000 0.54999 0.00909 0.09087 0.00101

2 0.20000 0.59992 0.02642 0.17335 0.00385

3 0.30000 0.64973 0.05123 0.24809 0.00920

4 0.40000 0.69936 0.08280 0.31567 0.01756

5 0.50000 0.74875 0.12046 0.37659 0.02935

6 0.60000 0.79784 0.16359 0.43130 0.04485

7 0.70000 0.84657 0.21161 0.48020 0.06429

8 0.80000 0.89488 0.26397 0.52366 0.08777

9 0.90000 0.94271 0.32017 0.56201 0.11537

10 1.00000 0.99000 0.37973 0.59557 0.14707

11 1.10000 1.03669 0.44219 0.62462 0.18284

12 1.20000 1.08272 0.50714 0.64944 0.22256

13 1.30000 1.12803 0.57416 0.67027 0.26613

14 1.40000 1.17256 0.64290 0.68735 0.31336

15 1.50000 1.21625 0.71299 0.70091 0.36410

16 1.60000 1.25904 0.78411 0.71117 0.41812

17 1.70000 1.30087 0.85594 0.71833 0.47521

18 1.80000 1.34168 0.92820 0.72257 0.53515

19 1.90000 1.38141 1.00060 0.72409 0.59767

20 2.00000 1.42000 1.07291 0.72306 0.66255

21 2.10000 1.45739 1.14488 0.71965 0.72953

22 2.20000 1.49352 1.21628 0.71400 0.79835

23 2.30000 1.52833 1.28690 0.70628 0.86876

24 2.40000 1.56176 1.35657 0.69663 0.94051

25 2.50000 1.59375 1.42508 0.68517 1.01335