1.2 Методика идентификации
Проводится идентификация линейного обыкновенного дифференциального уравнения (1.1)
(1.1)
где τ - время,
X(τ) - воздействие,
Y(τ) - реакция оъекта.
Для решения задачи идентификации чаще всего выбирается метод наименьших квадратов с аппроксимацией зависимостей X=f(τ) и Y=f(τ) при котором:
проводится аппроксимация зависимостей X=f(t) и Y=f(t) на отрезках оси времени гладкими функциями (полиномы невысоких степеней);
для моментов времени путем дифференцирования аппроксимирующих функций определяются производные
,
.
значения функций и производных подставляются в идентифицируемое уравнение и определяется сумма квадратов невязок левой и правой частей уравнения для всех рассматриваемых моментов времени;
значения коэффициентов идентифицируемого дифференциального уравнения определяются путем минимизации суммы квадратов невязок левой и правой частей уравнения.
Минимизацию значения функционала можно проводить итерационным путем используя методы спуска, но удобнее формировать систему линейных алгебраических уравнений, которая решается прямыми методами.
Для проведения идентификации используется метод аппроксимации на смежных отрезках. Аппроксимация зависимостей X=f(t) и Y=f(t) осуществляется полиномами методом наименьших квадратов.
(1.2)
где τ – независимая переменная;
i – индекс момента времени на оси основной независимой переменной τ;
Δτ - отрезок времени на котором проводится аппроксимация;
t = ττ1 - локальная (в пределах nz отрезка) координата времени;
j – индекс момента времени на вспомогательной оси независимой переменной t (в пределах локального отрезка времени);
jm – индекс момента времени конца отрезка (на вспомогательной оси t);
nz – индекс отрезка времени;
а0 аnf и b0 bmf - коэффициенты аппроксимирующих полиномов;
nf, mf - порядки аппроксимирующих полиномов.
Выражение для суммы квадратов невязок по всем рассмотренным зонам имеет вид:
(1.3)
где m – количество рассмотренных точек всей области определения функции (включая все выделенные отрезки),
j – индекс точки.
Необходимым условием минимума функции δ является равенство нулю ее частных производных:
(1.4)
Подставив выражение (1.3) в (1.4) можно получить систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) (1.5).
(1.5)
Решив систему линейных алгебраических уравнений (6) получим значения A, k.
Проведение идентификации отражено в таблице 1.2.
Оценка качества идентификации уравнения (1.1) проводится сравнением заданных значений Y и восстановленных значений Ych. Значения Ych получены при численном решении уравнения (1.1) методом трапеций.
Аппроксимация на отрезках.
Оценка качества идентификации приведена на рис.1.4.
Таблица 1.2 - Идентификация ОДУ первого порядка
|
i |
|
t |
X |
Y |
Y' |
(Y')2 |
-X*Y' |
X2 |
-Y*Y' |
X*Y |
Ych |
Отрезок 1 |
1 |
0,00 |
0,00 |
0,991 |
0,003 |
1,108 |
1,227 |
-1,098 |
0,983 |
-0,003 |
0,003 |
0,003 |
2 |
0,05 |
0,05 |
1,085 |
0,066 |
1,081 |
1,169 |
-1,173 |
1,176 |
-0,071 |
0,071 |
0,055 |
|
3 |
0,10 |
0,10 |
1,120 |
0,099 |
1,061 |
1,126 |
-1,189 |
1,255 |
-0,105 |
0,111 |
0,108 |
|
4 |
0,15 |
0,15 |
1,188 |
0,162 |
1,046 |
1,095 |
-1,243 |
1,412 |
-0,170 |
0,193 |
0,161 |
|
5 |
0,20 |
0,20 |
1,221 |
0,232 |
1,035 |
1,071 |
-1,264 |
1,491 |
-0,240 |
0,284 |
0,214 |
|
6 |
0,25 |
0,25 |
1,319 |
0,265 |
1,025 |
1,050 |
-1,352 |
1,740 |
-0,271 |
0,349 |
0,267 |
|
7 |
0,30 |
0,30 |
1,359 |
0,311 |
1,015 |
1,030 |
-1,379 |
1,848 |
-0,315 |
0,422 |
0,321 |
|
8 |
0,35 |
0,35 |
1,394 |
0,387 |
1,004 |
1,007 |
-1,400 |
1,944 |
-0,388 |
0,540 |
0,375 |
|
9 |
0,40 |
0,40 |
1,431 |
0,430 |
0,991 |
0,981 |
-1,418 |
2,048 |
-0,426 |
0,616 |
0,427 |
|
10 |
0,45 |
0,45 |
1,489 |
0,459 |
0,974 |
0,949 |
-1,451 |
2,218 |
-0,447 |
0,684 |
0,479 |
|
11 |
0,50 |
0,50 |
1,478 |
0,531 |
0,954 |
0,910 |
-1,409 |
2,183 |
-0,506 |
0,784 |
0,530 |
|
12 |
0,55 |
0,55 |
1,490 |
0,563 |
0,929 |
0,862 |
-1,383 |
2,219 |
-0,522 |
0,838 |
0,577 |
|
13 |
0,60 |
0,60 |
1,540 |
0,579 |
0,898 |
0,807 |
-1,384 |
2,373 |
-0,520 |
0,892 |
0,625 |
|
14 |
0,65 |
0,65 |
1,540 |
0,682 |
0,862 |
0,743 |
-1,328 |
2,372 |
-0,588 |
1,051 |
0,670 |
|
15 |
0,70 |
0,70 |
1,527 |
0,671 |
0,820 |
0,673 |
-1,252 |
2,332 |
-0,551 |
1,025 |
0,714 |
|
16 |
0,75 |
0,75 |
1,524 |
0,708 |
0,772 |
0,596 |
-1,177 |
2,322 |
-0,546 |
1,078 |
0,754 |
|
17 |
0,80 |
0,80 |
1,492 |
0,790 |
0,718 |
0,516 |
-1,071 |
2,227 |
-0,568 |
1,179 |
0,792 |
|
18 |
0,85 |
0,85 |
1,455 |
0,814 |
0,658 |
0,433 |
-0,958 |
2,117 |
-0,536 |
1,184 |
0,826 |
|
19 |
0,90 |
0,90 |
1,450 |
0,822 |
0,593 |
0,352 |
-0,860 |
2,102 |
-0,487 |
1,192 |
0,857 |
|
20 |
0,95 |
0,95 |
1,386 |
0,870 |
0,523 |
0,273 |
-0,724 |
1,920 |
-0,455 |
1,205 |
0,884 |
|
21 |
1,00 |
1,00 |
1,352 |
0,911 |
0,448 |
0,201 |
-0,606 |
1,827 |
-0,409 |
1,232 |
0,908 |
|
22 |
1,05 |
1,05 |
1,259 |
0,926 |
0,370 |
0,137 |
-0,466 |
1,586 |
-0,343 |
1,166 |
0,928 |
|
23 |
1,10 |
1,10 |
1,184 |
0,924 |
0,290 |
0,084 |
-0,343 |
1,401 |
-0,268 |
1,094 |
0,942 |
|
24 |
1,15 |
1,15 |
1,144 |
0,968 |
0,207 |
0,043 |
-0,237 |
1,308 |
-0,201 |
1,107 |
0,952 |
|
25 |
1,20 |
1,20 |
1,107 |
0,969 |
0,125 |
0,016 |
-0,138 |
1,226 |
-0,121 |
1,073 |
0,960 |
|
26 |
1,25 |
1,25 |
0,997 |
0,924 |
0,043 |
0,002 |
-0,043 |
0,995 |
-0,040 |
0,921 |
0,964 |
|
27 |
1,30 |
1,30 |
0,938 |
0,962 |
-0,036 |
0,001 |
0,034 |
0,880 |
0,035 |
0,903 |
0,963 |
|
28 |
1,35 |
1,35 |
0,866 |
0,934 |
-0,111 |
0,012 |
0,096 |
0,749 |
0,103 |
0,809 |
0,959 |
|
29 |
1,40 |
1,40 |
0,807 |
0,931 |
-0,180 |
0,032 |
0,145 |
0,652 |
0,167 |
0,751 |
0,952 |
|
30 |
1,45 |
1,45 |
0,745 |
0,938 |
-0,240 |
0,058 |
0,179 |
0,556 |
0,225 |
0,699 |
0,943 |
|
31 |
1,50 |
1,50 |
0,692 |
0,909 |
-0,291 |
0,085 |
0,201 |
0,479 |
0,265 |
0,629 |
0,930 |
|
32 |
1,55 |
1,55 |
0,622 |
0,883 |
-0,329 |
0,109 |
0,205 |
0,386 |
0,291 |
0,549 |
0,916 |
|
33 |
1,60 |
1,60 |
0,557 |
0,875 |
-0,353 |
0,125 |
0,197 |
0,310 |
0,309 |
0,487 |
0,898 |
|
34 |
1,65 |
1,65 |
0,501 |
0,881 |
-0,360 |
0,129 |
0,180 |
0,251 |
0,317 |
0,441 |
0,879 |
|
35 |
1,70 |
1,70 |
0,477 |
0,865 |
-0,346 |
0,120 |
0,165 |
0,227 |
0,299 |
0,412 |
0,858 |
|
36 |
1,75 |
1,75 |
0,441 |
0,847 |
-0,310 |
0,096 |
0,137 |
0,195 |
0,262 |
0,374 |
0,837 |
|
37 |
1,80 |
1,80 |
0,437 |
0,847 |
-0,248 |
0,061 |
0,108 |
0,191 |
0,210 |
0,370 |
0,816 |
|
38 |
1,85 |
1,85 |
0,401 |
0,792 |
-0,157 |
0,025 |
0,063 |
0,161 |
0,124 |
0,318 |
0,796 |
|
39 |
1,90 |
1,90 |
0,418 |
0,797 |
-0,033 |
0,001 |
0,014 |
0,174 |
0,027 |
0,333 |
0,775 |
|
Продолжение таблицы 1.2 |
||||||||||||
|
i |
|
t |
X |
Y |
Y' |
(Y')2 |
-X*Y' |
X2 |
-Y*Y' |
X*Y |
Ych |
Отрезок 2 |
40 |
1,95 |
0,00 |
0,392 |
0,776 |
-0,731 |
0,534 |
0,286 |
0,154 |
0,567 |
0,304 |
0,756 |
41 |
2,00 |
0,05 |
0,436 |
0,740 |
-0,611 |
0,374 |
0,267 |
0,190 |
0,453 |
0,323 |
0,738 |
|
42 |
2,05 |
0,10 |
0,426 |
0,714 |
-0,495 |
0,245 |
0,211 |
0,181 |
0,353 |
0,304 |
0,722 |
|
43 |
2,10 |
0,15 |
0,492 |
0,738 |
-0,382 |
0,146 |
0,188 |
0,242 |
0,282 |
0,363 |
0,708 |
|
44 |
2,15 |
0,20 |
0,524 |
0,720 |
-0,273 |
0,074 |
0,143 |
0,275 |
0,196 |
0,377 |
0,697 |
|
45 |
2,20 |
0,25 |
0,550 |
0,670 |
-0,168 |
0,028 |
0,093 |
0,303 |
0,113 |
0,369 |
0,688 |
|
46 |
2,25 |
0,30 |
0,631 |
0,663 |
-0,069 |
0,005 |
0,044 |
0,398 |
0,046 |
0,418 |
0,683 |
|
47 |
2,30 |
0,35 |
0,677 |
0,707 |
0,025 |
0,001 |
-0,017 |
0,458 |
-0,017 |
0,478 |
0,681 |
|
48 |
2,35 |
0,40 |
0,729 |
0,702 |
0,113 |
0,013 |
-0,082 |
0,531 |
-0,079 |
0,512 |
0,681 |
|
49 |
2,40 |
0,45 |
0,794 |
0,684 |
0,194 |
0,038 |
-0,154 |
0,630 |
-0,133 |
0,543 |
0,685 |
|
50 |
2,45 |
0,50 |
0,883 |
0,691 |
0,270 |
0,073 |
-0,238 |
0,779 |
-0,186 |
0,610 |
0,692 |
|
51 |
2,50 |
0,55 |
0,993 |
0,700 |
0,338 |
0,114 |
-0,336 |
0,987 |
-0,237 |
0,696 |
0,704 |
|
52 |
2,55 |
0,60 |
1,050 |
0,748 |
0,399 |
0,159 |
-0,419 |
1,103 |
-0,299 |
0,786 |
0,719 |
|
53 |
2,60 |
0,65 |
1,113 |
0,741 |
0,453 |
0,206 |
-0,505 |
1,239 |
-0,336 |
0,826 |
0,737 |
|
54 |
2,65 |
0,70 |
1,205 |
0,746 |
0,500 |
0,250 |
-0,602 |
1,451 |
-0,373 |
0,898 |
0,758 |
|
55 |
2,70 |
0,75 |
1,279 |
0,776 |
0,539 |
0,291 |
-0,690 |
1,636 |
-0,419 |
0,993 |
0,782 |
|
56 |
2,75 |
0,80 |
1,367 |
0,842 |
0,571 |
0,326 |
-0,780 |
1,868 |
-0,481 |
1,151 |
0,809 |
|
57 |
2,80 |
0,85 |
1,464 |
0,837 |
0,595 |
0,354 |
-0,871 |
2,144 |
-0,498 |
1,226 |
0,839 |
|
58 |
2,85 |
0,90 |
1,498 |
0,875 |
0,611 |
0,374 |
-0,916 |
2,244 |
-0,535 |
1,310 |
0,870 |
|
59 |
2,90 |
0,95 |
1,539 |
0,915 |
0,620 |
0,385 |
-0,954 |
2,368 |
-0,567 |
1,407 |
0,903 |
|
60 |
2,95 |
1,00 |
1,586 |
0,953 |
0,622 |
0,386 |
-0,986 |
2,515 |
-0,592 |
1,511 |
0,935 |
|
61 |
3,00 |
1,05 |
1,621 |
0,977 |
0,616 |
0,379 |
-0,998 |
2,628 |
-0,602 |
1,584 |
0,968 |
|
62 |
3,05 |
1,10 |
1,680 |
1,014 |
0,603 |
0,363 |
-1,012 |
2,822 |
-0,611 |
1,703 |
1,002 |
|
63 |
3,10 |
1,15 |
1,690 |
1,012 |
0,583 |
0,339 |
-0,985 |
2,857 |
-0,589 |
1,710 |
1,036 |
|
64 |
3,15 |
1,20 |
1,705 |
1,056 |
0,556 |
0,309 |
-0,948 |
2,908 |
-0,587 |
1,800 |
1,069 |
|
65 |
3,20 |
1,25 |
1,675 |
1,078 |
0,523 |
0,273 |
-0,876 |
2,805 |
-0,563 |
1,805 |
1,099 |
|
66 |
3,25 |
1,30 |
1,688 |
1,134 |
0,484 |
0,234 |
-0,816 |
2,848 |
-0,548 |
1,913 |
1,128 |
|
67 |
3,30 |
1,35 |
1,669 |
1,179 |
0,439 |
0,192 |
-0,732 |
2,785 |
-0,517 |
1,968 |
1,155 |
|
68 |
3,35 |
1,40 |
1,613 |
1,206 |
0,388 |
0,151 |
-0,627 |
2,603 |
-0,468 |
1,946 |
1,178 |
|
69 |
3,40 |
1,45 |
1,557 |
1,178 |
0,333 |
0,111 |
-0,519 |
2,426 |
-0,393 |
1,834 |
1,198 |
|
70 |
3,45 |
1,50 |
1,511 |
1,197 |
0,274 |
0,075 |
-0,414 |
2,282 |
-0,328 |
1,808 |
1,214 |
|
71 |
3,50 |
1,55 |
1,470 |
1,210 |
0,211 |
0,045 |
-0,310 |
2,161 |
-0,255 |
1,779 |
1,227 |
|
72 |
3,55 |
1,60 |
1,393 |
1,227 |
0,145 |
0,021 |
-0,202 |
1,941 |
-0,178 |
1,710 |
1,236 |
|
73 |
3,60 |
1,65 |
1,305 |
1,222 |
0,076 |
0,006 |
-0,099 |
1,704 |
-0,092 |
1,595 |
1,241 |
|
74 |
3,65 |
1,70 |
1,225 |
1,267 |
0,005 |
0,000 |
-0,006 |
1,499 |
-0,006 |
1,552 |
1,241 |
|
75 |
3,70 |
1,75 |
1,109 |
1,218 |
-0,067 |
0,005 |
0,075 |
1,231 |
0,082 |
1,351 |
1,236 |
|
76 |
3,75 |
1,80 |
1,021 |
1,257 |
-0,140 |
0,020 |
0,143 |
1,042 |
0,176 |
1,283 |
1,227 |
|
77 |
3,80 |
1,85 |
0,936 |
1,238 |
-0,213 |
0,045 |
0,199 |
0,877 |
0,263 |
1,159 |
1,213 |
|
78 |
3,85 |
1,90 |
0,832 |
1,204 |
-0,284 |
0,081 |
0,236 |
0,692 |
0,342 |
1,002 |
1,195 |
|
79 |
3,90 |
1,95 |
0,780 |
1,175 |
-0,353 |
0,125 |
0,276 |
0,608 |
0,415 |
0,916 |
1,174 |
|
80 |
3,95 |
2,00 |
0,664 |
1,152 |
-0,420 |
0,176 |
0,279 |
0,441 |
0,484 |
0,766 |
1,151 |
|
81 |
4,00 |
2,05 |
0,601 |
1,110 |
-0,483 |
0,233 |
0,290 |
0,361 |
0,536 |
0,666 |
1,123 |
|
82 |
4,05 |
2,10 |
0,515 |
1,083 |
-0,541 |
0,293 |
0,279 |
0,266 |
0,586 |
0,558 |
1,094 |
|
83 |
4,10 |
2,15 |
0,473 |
1,079 |
-0,594 |
0,352 |
0,281 |
0,223 |
0,640 |
0,510 |
1,062 |
|
84 |
4,15 |
2,20 |
0,375 |
1,035 |
-0,639 |
0,408 |
0,240 |
0,141 |
0,661 |
0,388 |
1,029 |
|
Продолжение таблицы 1.2 |
||||||||||||
Отрезок 2 |
i |
|
t |
X |
Y |
Y' |
(Y')2 |
-X*Y' |
X2 |
-Y*Y' |
X*Y |
Ych |
85 |
4,20 |
2,25 |
0,343 |
0,992 |
-0,677 |
0,458 |
0,232 |
0,118 |
0,671 |
0,340 |
0,994 |
|
86 |
4,25 |
2,30 |
0,306 |
0,991 |
-0,705 |
0,497 |
0,216 |
0,094 |
0,699 |
0,303 |
0,959 |
|
87 |
4,30 |
2,35 |
0,275 |
0,948 |
-0,724 |
0,524 |
0,199 |
0,076 |
0,686 |
0,261 |
0,925 |
|
88 |
4,35 |
2,40 |
0,206 |
0,923 |
-0,731 |
0,534 |
0,151 |
0,042 |
0,674 |
0,190 |
0,889 |
|
89 |
4,40 |
2,45 |
0,203 |
0,876 |
-0,725 |
0,525 |
0,147 |
0,041 |
0,635 |
0,178 |
0,854 |
|
90 |
4,45 |
2,50 |
0,252 |
0,830 |
-0,705 |
0,497 |
0,178 |
0,064 |
0,585 |
0,209 |
0,821 |
|
91 |
4,50 |
2,55 |
0,260 |
0,788 |
-0,670 |
0,449 |
0,174 |
0,068 |
0,528 |
0,205 |
0,792 |
|
92 |
4,55 |
2,60 |
0,268 |
0,777 |
-0,618 |
0,382 |
0,166 |
0,072 |
0,480 |
0,208 |
0,764 |
|
93 |
4,60 |
2,65 |
0,283 |
0,756 |
-0,548 |
0,300 |
0,155 |
0,080 |
0,414 |
0,214 |
0,739 |
|
94 |
4,65 |
2,70 |
0,380 |
0,759 |
-0,458 |
0,210 |
0,174 |
0,144 |
0,347 |
0,288 |
0,718 |
|
95 |
4,70 |
2,75 |
0,412 |
0,735 |
-0,347 |
0,121 |
0,143 |
0,170 |
0,255 |
0,303 |
0,701 |
|
96 |
4,75 |
2,80 |
0,488 |
0,701 |
-0,214 |
0,046 |
0,104 |
0,238 |
0,150 |
0,342 |
0,687 |
|
97 |
4,80 |
2,85 |
0,554 |
0,699 |
-0,056 |
0,003 |
0,031 |
0,307 |
0,039 |
0,387 |
0,678 |
|
98 |
4,85 |
2,90 |
0,674 |
0,680 |
0,128 |
0,016 |
-0,086 |
0,455 |
-0,087 |
0,459 |
0,675 |
|
99 |
4,90 |
2,95 |
0,768 |
0,674 |
0,339 |
0,115 |
-0,260 |
0,590 |
-0,228 |
0,518 |
0,676 |
|
100 |
4,95 |
3,00 |
0,873 |
0,689 |
0,579 |
0,335 |
-0,506 |
0,762 |
-0,399 |
0,601 |
0,683 |
|
|
|
|
|
|
|
|
31,828 |
-35,97 |
117,007 |
-5,308 |
81,088 |
|
|
|
|
|
|
|
|
(Y')2 |
-X*Y' |
X2 |
-Y*Y' |
X*Y |
|
Исходная матрица |
|
Вектор правой части |
|||||
31,8282 |
-35,969 |
|
|
-5,3077 |
|
|
|
-35,969 |
117,007 |
|
|
81,0876 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Обратная матрица |
|
Вектор решения |
|||||
0,04814 |
0,0148 |
|
А= |
0,94455 |
|
|
|
0,0148 |
0,0131 |
|
k= |
0,98338 |
|
|
|
D1= |
0,94843 |
D2= |
0,02536 |