2.3.3. Примеры оценки погрешности косвенных измерений.

Пример 1:

Измерение сопротивления.

С хема из раздела 1.5., которая используется в л.р. №5:

Результаты прямых измерений:

Сопротивление вольтметра: . Требуется записать результат косвенного измерения R.

.

Вычислим предельные значения относительных погрешностей результатов прямых измерений:

Можно доказать, что при методическая погрешность от неточности формулы, по которой вычисляется значение R, определяется выражением

(просил вывести её самостоятельно, когда читал раздел)

Подставляя вычисленное значение R и номинальное значение , получим:

.

Соответственно

Эта погрешность систематическая, и её можно исключить, введя поправку в результат.

Тогда останется погрешность, обусловленная отклонениями от номинала:

Однако ясно, что относительное значение этой погрешности будет порядка , т.е. оно ничтожно мало по сравнению с и .

Поэтому погрешность измерения будет содержать только 2 составляющие: погрешности прямых измерений напряжения и тока; её предел:

.

После округления с учетом поправки получим:

Тогда

Пример 2.

Выполнение п.6 задания л.р. №1 (в измененной редакции), считая, что значение скважности импульсов напряжения на зажимах 3-3 составляет

Напомним, что в описании л.р. п.6 сформулирован так: “Выбрать вольтметры и произвести измерение среднего и среднеквадратического значений периодического напряжения на зажимах 3-3, представляющего собой положительные импульсы прямоугольной формы”.

Ориентировочные данные о напряжении на зажимах 3-3, приведенные на лабораторном стенде:

Среднее значение этого напряжения можно измерить вольтметром Ц4311 или В7-26 в режиме измерения напряжения постоянного тока.

Почему?

Известно, что из всех измерительных механизмов только один пригоден для измерения среднего значения – магнитоэлектрический. Среди имеющихся на стенде вольтметров Ц4311, при измерении напряжения постоянного тока как раз и является магнитоэлектрическим

вольтметром ( а при измерении sin – выпрямительным ). В принципе его можно было

бы использовать, но при этом будет получаться большая погрешность от взаимодействия, ибо у него не очень велико.

Какое у него ?

Это зависит от диапазона измерения. На каком диапазоне мы будем работать? Для этого надо ориентировочно представлять себе значение .

где - скважность.

В дополнительной информации на стенде указано С=1,5.

Тогда .

Поскольку дано ориентировочно, возможны диапазоны с верхним пределом либо 30 В, либо 100 В. Ток полного отклонения на обоих пределах составляет 3 мА.

Значит, на пределе 30 В и 33 кОм на пределе 100 В.

При это соответствует большой погрешности (можно не считать). Вместе с тем, есть В7-26, который в режиме измерения напряжения постоянного тока имеет структуру:

; в целом

Усилитель принципиально ничего не изменяет, значит, этот вольтметр тоже реагирует на . Но у него . Следовательно

.

Поскольку % погрешностью от взаимодействия можно пренебречь.

Итак, для измерения подходит В7-26. Среднеквадратичное значение U можно будет измерить электростатическим вольтметром – он имеет очень широкий частотный диапазон и очень большое .

можно измерить, но U – не измерить, а вычислить, зная скважность.

, и применяя для напряжения со скважностью С

Таким образом

Отсюда

При заданной скважности, например, С=1,5, измерение вольтметром В7-26 получено:

(на пределе 100 В)

Поскольку условия принимаются нормальными и погрешностью от взаимодействия можно пренебречь, имеем

Следовательно,

При выполнении дополнительных метрологических расчетов дается, что

Тогда , т.е. k=1; l=0,5

Здесь - предел относительной погрешности измерения - предел относительной погрешности измерения скважности С.

Здесь может возникнуть сомнение: мы измеряем и поэтому 7,3% - это предел относительной погрешности прямого измерения, но С мы не измеряем, так можем говорить о косвенном измерении.

Можем. Если мы имеем заданную скважность в виде , это значит, сто её измерили.

Теперь можем найти предел абсолютной погрешности косвенного измерения U.

Результат: .

Таким образом, вместо при С=1,5 имеем при

Пример 3.

Потенциометры постоянного тока.

Потенциометр – прибор для измерения напряжения, обычно значительно более точный, чем вольтметр. Потенциометр постоянного тока измеряет напряжение постоянного тока. Но, применяя косвенное напряжение, потенциометром можно определить и другие физические величины– ток, сопротивление.

С помощью потенциометра измерить неизвестное сопротивление (но и должным образом представить результат измерения.)

С хема эксперимента:

- образцовый резистор.

Здесь мы имеем особый случай косвенного измерения, когда и измеряются одним и тем же прибором – потенциометром.

В применявшихся ранее обозначениях

Здесь - относительная погрешность образцового резистора

- относительные погрешности измерения и потенциометром.

Здесь проявляется эффект частичной компенсации. Чтобы понять, нужно знать принцип действия потенциометра и особенности нормирования его точности.

Измерение любого напряжения U потенциометром происходит в два этапа: сначала по нормальному элементу с ЭДС устанавливается т.н. рабочий ток I; когда он установлен, справедливо равенство

,

где - сопротивление, на котором создается падение напряжения, сравнимое с , затем производится собственно измерение U- оно сравнивается с компенсирующим напряжением.

по достижении .

Отсюда – главная формула потенциометра

В соответствии с этой формулой относительную погрешность в потенциометре можно представить в виде:

где - погрешность отношения

Сейчас для нас существенно, что не зависит от значения U, а - зависит, ибо зависит от U.

Особенность нормирования точности потенциометров состоит в том, что нормируется только без , т.е. без учета нормального элемента.

Однако, в нашем случае эффект частичной компенсации погрешностей прямых измерений.

и как раз и проявляется в том, что исключается.

Предельное значение погрешности нормируется в форме

Класс точности потенциометра c/d.

Подставляя и находим предельные значения разности

Учитывая, что - это погрешность резистора , т.е. , окончательно получим:

Эта формула дает нам предел относительной погрешности косвенного измерения потенциометром класса C/d с использованием образцового резистора класса в нормальных условиях.

Пусть потенциометром типа Р309 класс 0,005/0,00025 в нормальных условиях.

Получены значения:

при использовании класс 0,01.

Конечное значение .

Требуется записать результат измерения. С использованием 10разрядного калькулятора получим:

.

Рассчитаем :

Теперь :

точные измерения

Результат: