2.2.3. Пример оценки погрешности прямых измерений.

Пример 1. 1)Выбрать вольтметр для проведения измерений. 2)Правильно представить результаты измерения в виде

Даже выбор вольтметра требует метрологического расчета.

Сведения об источнике напряжения:

В наличии 5 вольтметров.

1) 7390А; ; - отпадает по двум причинам:

а)диапазон измерений от 5 В;

б)рассчитан на 50 Гц.

2)Д 5015; ; 7,5;15;30;60 B; 45-1000-2000 Гц

Тоже отпадает по тем же двум причинам.

3)Ц4311; ;  от 0,75 до 750 В

 от 0,75 до 7,5 45-55-16000 Гц

Подходит по диапазону измерений и по частотному диапазону, но

- отпадает по входному сопротивлению.

4)В3-39; ; от 1 мВ до 300 В, есть 1 В;

20-45 Гц – 1 МГц – 10 МГц

Подходит по диапазону измерений и по частотному диапазону.

- подходит по входному импедансу. Основная погрешность: от 3 мВ до 1 В;

5)В7-26; ; на  от 1 до 300 В

на низкочастотном входе от 20 Гц до 20 кГц

на низкочастотном входе.

Тоже подходит по диапазону измерения, частотному диапазону и входному импедансу.

Основная погрешность: на низкочастотном входе .

Вывод: в принципе подходят и В3-39, и В7-26; для выбора наиболее подходящего необходимо сделать метрологический расчет ожидаемой погрешности измерения.

Итак: и .

В3-39 лучше по , но у него больше , которая влияет на . Поэтому без расчета выбрать нельзя.

Основная погрешность:

Для обоих вольтметров

для В3-39

для В7-26

Следовательно, для В3-39

для В7-26

Погрешность от взаимодействия для В3-39 была вычислена:

Абсолютная , но не знаем U. При небольшом U=1 B

.

Таким образом, .

Тем более это справедливо для В7-26, т.к. у него меньше , и , следовательно, меньше , но больше .

Производим измерение U=0.66 В.

Теперь уточняем :

Следовательно:

Рассчитаем предельные значения погрешности измерения при арифметическом суммировании. Пределы погрешности измерения несимметричны:

Различие невелико, с небольшим превышением можно принять и тогда

Р=1- можно не писать, а, тогда, по умолчанию, это говорит о том, что Р=1.

Итак: .

Пример 2:

Все то же, что и в примере 1, но температура окружающей среды =35С. В этом случае возникает третья составляющая погрешности – дополнительная температурная погрешность;

где К – температурный коэффициент; - нормальное значение .

Предельное значение К:

Пределы погрешности измерения:

Таким образом, в данном случае можем записать .

2.3. Составляющие погрешности косвенных измерений.

При косвенных измерениях сопротивления R

Точная формула для вычисления сопротивления зависит от схемы измерения. Для случая, рассмотренного ранее

В общем случае формулу, по которой производится вычисление при косвенном измерении, можно представить в виде:

где и т.д. – результаты прямых измерений.

В нашем примере

Погрешности прямых измерений обозначим . Будем считать, что какие-либо характеристики этих погрешностей, например, их предельные значения нам известны.

Ясно, что - это составляющие погрешности косвенного измерения . Какие еще есть составляющие погрешности ? Да, есть еще одна – методическая погрешность, в частности, методическая погрешность от неточности формулы:

Итак:

2.3.2 Суммирование погрешностей прямых измерений при определении

погрешности косвенного измерения.

Рассматриваем вопрос о суммирование ; ;… ., оставляя пока в стороне методическую составляющую .

Пусть известны предельные значения ; ;… ., требуется найти предельные значения суммы этих составляющих.

В общем виде:

Это формула полного дифференциала функции.

Предельные значения

Рассмотрим два важных частных случая

здесь , следовательно

Например, при имеем

таким образом здесь суммируются модули пределов абсолютной погрешности.

Заметим, что для

Следовательно , так, что при имеем .

Но мы не знаем и , а знаем и , которые имеют знаки «+» и «-», поэтому в худшем случае .

2) , где показатели k,l…m – любые действительные числа, положительные и отрицательные, целые и дробные. Определим частные производные :

Это можно записать в виде

,

т.е.

k=1; l=-1

следовательно

;

или, в обозначениях примера

.

Если k=l=…=m=1, т.е. , то

то же самое будет и в случае

, т.е. когда k=l=…=p=1: q=r=…=n=1

Таким образом здесь суммируются матрицы относительных погрешностей.

Особый случай: Некоторые или все измеряются одним и тем же прибором - иногда при этом происходит частичная компенсация погрешностей прямых измерений.

Ограничимся и рассмотрим два варианта функции :

1) ; 2)

и будем считать, что измеряется одним прибором, а и - другим (одна и та же физ. величина).

В этих случаях:

1) ; 2)

Совершенно очевидно, что в частном случае, при погрешности и или и взаимно уничтожаются, а функция вырождается в .

А если ?

Можно ли утверждать, как раньше, что:

1) 2) ?

Это означало бы, что один и тот же прибор при измерении дает (или ), а при измерении (или ).

Может ли такое быть?

Вопрос этот не простой. Чтобы его решить, нам надо ввести еще одно подразделение погрешностей средств измерения – по критерию зависимости значений погрешности от значений измеряемой величины.

Возможны следующие варианты:

В реальном СИ обычно есть все три варианта.

Объяснение названий “аддитивная” и “мультипликативная”:

добавление постоянной величины(add);

умножение на постоянную величину

(multiply)

Возвращаемся к нашим примерам. Если бы прибор, измеряющий и обладал только аддитивной погрешностью, то в случае 1) произошла бы полная компенсация: , а в случае 2) – частичная компенсация: - которая при стремилась бы к полной компенсации.

Если же этот прибор обладал бы только мультипликативной погрешностью, полная компенсация была бы в случае 2): , а в случае 1) – частичная компенсация: , которая при стремилась бы к полной.

Но обычно, как уже говорилось, реальная СИ содержит все три составляющие и нормируется общая погрешность, без раздельного нормирования.

Однако, в некоторых случаях указанные составляющие нормируются отдельно. Пример – электронно- лучевой осциллограф (С1-76; в л. р. №6).

Если известны не , а , то – статистическое суммирование погрешностей прямых измерений при определении погрешности косвенного измерения: