Как решать задачи?
Задача 1. Для проведения эксперимента приобретено 5 ламп мощностью 60 Вт, семь - мощностью 100 Вт и три мощностью 120 Вт. Наудачу берут 4 лампы и устанавливают на стенде. Найти вероятность того, что по крайней мере среди них 3 одинаковой мощности.
Решение: Условие "по крайней мере 3" означает "3 или больше". Следовательно, среди четырех, наудачу взятых, будет либо 3, либо 4 одинаковой мощности. Условие "одинаковой мощности" означает, что эти лампы либо мощностью 60, либо 100, либо 120 Вт. Таким образом, возможны варианты:
Основное событие: А - по крайней мере 3 лампы одинаковой мощности,
Элементарные события: В - 3 лампы мощностью 60 Вт и одна не 60 Вт С - 4лампы мощностью 60 Вт D - 3 лампы мощностью 100 Вт и одна не 100 Вт Е - 4 лампы мощностью 100 Вт.
К - 4 лампы по 120 Вт и одна не120 Вт
А=В+С+D+Е+К В, С, D, Е, К несовместны
Р(А)=Р(В)+Р(С)+Р(D)+Р(Е)+Р(К)
А вероятности элементарных событий найдем с помощью классического определения вероятности и элементов комбинаторики.
, 
,
, 
,
, 
.
Задача 2. Автомат штампует детали в виде параллелепипедов одинакового размера. Вероятность того, что будет неверной длина, равна 0.01, ширина - 0.03, высота - 0.1. Для признания детали негодной достаточно, чтобы был нарушен хотя бы один из линейных размеров. Найти вероятность того, что деталь будет признана нестандартной.
Решение: Основное событие А - деталь нестандартна.
Э
независимы
Деталь может быть нестандартной тогда, когда один из размеров нарушен. Следовательно, необходимо применить теорему о вероятности появления хотя бы одного из нескольких независимых событий.
*
.
Общие подходы к решению задач
Выделить основное событие задачи. Определить, простое это событие или составное (сложное).
Если основное событие простое, использовать классическое определение вероятности события.
Если основное событие сложное, определить вид и количество элементарных событий. Установить соотношения между ними.
Составить алгебраическое выражение, связывающее основное и элементарное события.
Найти вероятности элементарных событий.
На
основании п.п. 3, 4, 5 выбрать нужную
теорему и найти вероятность основного
события.
Задачи для самостоятельного решения
В гидросистеме станка установлены 3 фильтра А, В, С. Вероятность засорения в течение смены фильтров А и В равна 0.3, а С - 0.1. Найти вероятность того, что в течение смены гидросистема не выйдет из строя из-за засорения фильтров.
Двое играют в игру: из ящика с тремя белыми и 4 черными шарами поочередно наудачу вынимают шары без возвращения. Победившим считается тот, кто первым вытащит белый шар. Найти вероятность выигрыша для игрока, начинающего первым, и для игрока, начинающего игру вторым.
Вероятность того, что двигатель на морозе заработает в первую же секунду, равна 0.8. Если двигатель не заработал в первую же секунду, запуск повторяют. Найти вероятность того, что для запуска двигателя потребуется не более четырех попыток.
Для признания негодной партии из 4 изделий достаточно, чтобы брак был обнаружен хотя бы в одном из них. Найти вероятность того, что партия будет признана негодной, если вероятности брака изделий соответственно равны 0.3, 0.4, 0.2 и 0.15.
На приборе установлены три независимо работающих элемента. Прибор действует, когда работают не менее двух элементов. Найдите вероятность работы прибора, если вероятности работы элементов равны 0.8, 0.7, 0.6 соответственно.
Для повышения надежности прибора он дублируется еще двумя такими же приборами. Надежность каждого прибора (вероятность его работы в течение заданного временного промежутка) равна 0.8. Найдите надежность системы АВ.
Система состоит из трех последовательно соединенных приборов, часть из которых дублируется. Вероятность работы каждого прибора из первой группы равна 0.8, из второй - 0.7, из третьей - 0.6. Найдите надежность системы в случаях а), б), в), г).
а
)
б
)
в
)
г
)
д) самостоятельно составить аналогичную схему и сделать расчеты.
В люстре 4 лампы. Вероятность того, что лампа перегорит в момент включения для первой равна - 0.2, для второй - 0.5, для третьей - 0.1, для четвертой - 0.3. Найдите вероятность того, что при включении перегорят: а) все лампы; б) не менее 2; в) по крайней мере одна; г) только одна; д) хотя бы одна.
В лыжной эстафете в команде «Ветерок» участвуют Петя, Коля и Вася. Вероятность победить на своем участке для Пети равна 0.9, для Коли - 0.5, а для Васи - 0.6. Найдите вероятность того, что на своих участках победят не более двух гонщиков.
Четверо стреляют по мишени. Вероятность попадания для первого - 0.8, для второго - 0.9, для третьего - 0.7 и для четвертого - 0.6. Найдите вероятность того, что при залпе: а) все попали; б) попали не менее двух; в) по крайней мере один попал; г) только один попал; д) по крайней мере один не попал.
В ящике 18 деталей, из них 13 стандартны. Какова вероятность того, что хотя бы одна из 2 вынутых деталей стандартна ?
Три стрелка стреляют по мишени. За попадание в мишень каждый получит рубль. Найдите вероятность того, что после залпа они вместе получат хотя бы один рубль, если вероятность попадания любого из них равна 0.7.
Девушку Катю мама отпускает гулять, если за ней зайдет хотя бы один из молодых людей: Рома, Денис или Иван. Вероятность сегодня появиться любому из них на пороге Катиной квартиры равна 0.9. Найдите вероятность того, что Катя сегодня погуляет.
Вероятность хотя бы одного попадания в цель при четырех выстрелах равна 0.9984. Найти вероятность попадания в цель при одном выстреле.