Если вы сумели самостоятельно решить хотя бы часть предложенных задач, можете смело приступать к изучению теории вероятностей.
2. Классическое определение вероятности п редварительные понятия
О.1. Совокупность условий - ОПЫТ=ИСПЫТАНИЕ.
О.2. Результат опыта - ЭЛЕМЕНТАРНЫЙ ИСХОД=СОБЫТИЕ (А)
О.3. Если в результате опыта событие
Возможность появления любого исхода одинакова все исходы равновозможны.
Если в результате испытания обязательно произойдет одно или несколько событий эти события образуют ПОЛНУЮ ГРУППУ.
|
"Вода закипает при 100°" - достоверное событие. "Лед плавится при 20°" - невозможное событие. "Завтра будет дождь" - случайное событие. Подбрасываем кубик. События: "Выпала 1", "Выпала 2",..., "Выпала 6" образуют полную группу.
|
Классическое определение вероятности события
n - число всех равновозможных элементарных исходов, образующих полную группу.
k - число исходов, благоприятствующих рассматриваемому событию A.
ФОРМУЛА ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТИ
СОБЫТИЯ
СВОЙСТВА:
0P(A)1
ВЕРОЯТНОСТЬ НЕВОЗМОЖНОГО СОБЫТИЯ РАВНА 0.
ВЕРОЯТНОСТЬ ДОСТОВЕРНОГО СОБЫТИЯ РАВНА 1. P()=1
Как решать задачи?
Задача 1. Куб, все грани которого окрашены, распилен на 1000 кубиков одинакового размера. Полученные кубики тщательно перемешаны. Определить вероятность того, что наудачу извлеченный кубик будет иметь только одну окрашенную грань.
Решение: Пусть событие А - наудачу извлеченный кубик - имеет только одну окрашенную грань. Общее число исходов - количество кубиков - равно 1000. Каждая грань кубика распилена на 100 частей, причем кубиков с одной окрашенной гранью для каждой из них 64. У куба 6 граней, следовательно, число исходов, благоприятствующих рассматриваемому событию, равно 6*64=384. Тогда искомая вероятность:
Задача 2. Из десяти билетов лотереи выигрышными являются три. Найти вероятность того, что из пяти взятых наудачу билетов два окажутся выигрышными.
Решение: Событие А - из пяти наудачу взятых билетов два выигрышных. Число всех возможных исходов равно числу всех возможных комбинаций по пять билетов. Порядок в этих комбинациях неважен, и их количество равно числу сочетаний из 10 по 5. Число исходов, благоприятствующих данному событию А, состоит из количества комбинаций из выигрышных билетов по 2 в сочетании с комбинациями из невыигрышных билетов по 3. Таким образом, число всех возможных исходов
,
а
число исходов, благоприятствующих
данному событию,
,
тогда
вероятность события равна
.
Задача 3. 10 вариантов контрольной работы тщательно перемешаны и распределены между 8 студентами, сидящими в одном ряду. Найти вероятность того, что выданными окажутся первых восемь вариантов.
Решение: А - выданными окажутся первых восемь вариантов. Число всех возможных исходов равно числу размещений из десяти по восемь. А число исходов, благоприятствующих исследуемому событию, равно числу перестановок из восьми. Вероятность события A.
.
Задача 4. В корзине находятся восемь белых и 5 черных шаров. Наудачу вынимают 3 шара. Найти вероятность того, что не менее двух из них белые.
Решение: Число всех возможных исходов равно числу сочетаний из 13 (общее количество шаров) по 3.
А число исходов, благоприятствующих исследуемому событию, складывается из числа комбинаций, в которых 2 белых шара, и из числа комбинаций, в которых 3 белых шара: ведь событие состоит в том, что либо 2, либо 3 белых шара должны быть среди вынутых наудачу. Тогда вероятность события
.