А теперь сведения для решений более сложных задач
ДВА ПРАВИЛА КОМБИНАТОРИКИ:
Если некоторый объект А может быть выбран из совокупности объектов n способами, а объект В может быть выбран из этой же совокупности k способами, то:
либо А, либо В могут быть выбраны (n+k) способами (правило суммы)
и А, и В могут быть выбраны (n
k)
способами (правило произведения).
Как решать задачи?
Задача 1. Сколько различных аккордов можно взять на десяти выбранных клавишах рояля, если каждый аккорд может содержать от трех до десяти звуков?
Решение: Каждый аккорд может содержать от трех до десяти звуков. Следовательно, одновременно можно нажимать или три, или четыре, или пять, или шесть, или семь, или восемь, или девять, или все десять клавиш. Таким образом, в задаче нужно учесть возможность появления одного из перечисленных аккордов. Причем количество k-звуковых аккордов равно количеству сочетаний из десяти по k. Общее количество всех различных аккордов равно
Здесь учтено
.
Задача 2. Сколько существует пятизначных чисел с разными цифрами, составленных из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, у которых три первые цифры четные, а остальные нечетные?
Решение: Среди названных цифр 4 четные и 5 нечетных. Вариантов для двух последних цифр в числе может быть столько, сколько существует размещений из пяти (нечетных) по два. А для трех первых столько, сколько существует размещений из четырех по три. Но так как для рассматриваемых чисел одновременно нужны и три четные, и две нечетные цифры, то всего количество таких чисел будет находиться как произведение размещений:
.
Задачи для самостоятельного решения
На электронном замке установлены пять различных букв и четыре разные цифры. Сколько "ключей" для открытия замка можно придумать, если выбрать для него три разные буквы и две разные цифры, нажимаемые в произвольном порядке?
На электронном замке пять различных букв и семь разных цифр. Сколько "ключей" для него можно придумать, если набирать три разные буквы в определенном порядке и три разные цифры в произвольном порядке?
На электронном замке имеются шесть различных букв и четыре различные цифры. Сколько "ключей" можно составить, если нажимать три зарезервированные буквы в произвольном порядке и все четыре цифры в определенном порядке?
Сколькими способами можно составить дозор из трех солдат и одного офицера, если имеются 80 солдат и 3 офицера?
Десять книг наудачу расставлены на книжной полке. Подсчитать число расстановок, в которых три конкретные книги из этих десяти окажутся стоящими рядом.
В секции туристов числятся 11 мужчин и 7 женщин. На слет нужно предоставить команду в составе 5 мужчин и 2 женщин или 4 мужчин и 3 женщин. Сколькими способами можно сформировать команду для слета?
Дед Мороз готовит подарки из 10 видов игрушек. В каждый подарок он может положить не менее 5 и не более 8 игрушек. Сколько разных подарков может составить Дед Мороз?
Идет игра в кости. Набирается команда на второй тур. Выигравшим в первом туре считается тот, кто наберет не менее 8 очков при бросании двух кубиков. Сколько вариантов выигрыша существует для каждого игрока?
Из 20 вопросов, предложенных на экзамен, студент выучил всего 15. Сколько возможностей у него есть сдать экзамен, если положительная оценка ставится тому, кто может раскрыть не менее двух вопросов билета, а в билете три вопроса?
Сколько существует пятизначных чисел с различными цифрами, у которых либо все цифры нечетные, либо первая нечетная, а остальные четные?