Разложения в ряд Фурье непериодической функции.
Пусть
функция
на
непериодическая. Рассмотрим
,
.
На отрезке
продолжим
кусочно-гладко.
Тогда
на всю числовую ось функцию
можно продолжить как периодическую с
периодом
функцию
,
.
Функция
разлагается в ряд Фурье. Таких функций
бесконечно много, но на
разложение
,
то есть
,
в ряд Фурье единственно.
Ряд Фурье по ортогональной системе функций
Определение.
Функции
и
определённые на отрезке
называются ортогональными,
если
Определение.
Набор функций
определённый
на
называется ортогональной
системой
(функций), если любые 2 из этого набора
попарно ортогональны.
,
если
Определение:
система функций называется ортонормированной
(ортонормальной), если
Определение:
ряд Фурье
функции
по ортогональной
системе функций
называется ряд вида:
,
где коэффициенты
определяются по формуле
Замечания:
Разложения по ортогональной системе функций на конечном отрезке возможны для любой функции , которая является непрерывной на или имеет там конечное число точек разрыва 1-го рода.
Для ортонормированной системы функций коэффициенты разложения в ряд Фурье имеют вид:
3. Если ортогональная система, состоящая из конечного числа функций, образует базис данного пространства, то и ряд Фурье будет состоять из конечного числа слагаемых.
Ряд Фурье по ортогональной системе функций
Определение. Функции и определённые на отрезке называются ортогональными, если
Определение. Набор функций определённый на называется ортогональной системой (функций), если любые 2 из этого набора попарно ортогональны.
, если
Определение: система функций называется ортонормированной (ортонормальной), если
Определение: ряд Фурье функции по ортогональной системе функций называется ряд вида:
, где коэффициенты определяются по формуле
Замечания:
Разложения по ортогональной системе функций на конечном отрезке возможны для любой функции , которая является непрерывной на или имеет там конечное число точек разрыва 1-го рода.
Для ортонормированной системы функций коэффициенты разложения в ряд Фурье имеют вид:
3. Если ортогональная система, состоящая из конечного числа функций, образует базис данного пространства, то и ряд Фурье будет состоять из конечного числа слагаемых.