РЯДЫ Числовой ряд — бесконечная сумма вида

. (1)

(необходимый признак сходимости ряда). Пусть ряд сходится, тогда .

Замечания: 1. То есть, если , то ряд (1) расходится.

2. Этот признак необходимый, но не достаточный.

Расходящийся ряд с общим членом, стремящимся к нулю. (гармонический ряд) ТЕОРЕМА 2 (признак сравнения). Пусть ряды (1) и (2) с положительными членами удовлетворяют условию . Тогда:

1. Из сходимости ряда (2) следует сходимость ряда (1).

2. Из расходимости ряда (1) следует расходимость ряда (2).

ТЕОРЕМА 3 (предельный признак сравнения). Пусть ряды (1) и (2) с положительными членами удовлетворяют условию . Тогда: если , то (1) и (2) сходятся или расходятся одновременно. Если , то:

сходится (2) сходится (1)

расходится (1) расходится (2)

ТЕОРЕМА 4 (признак Даламбера). Пусть дан ряд с положительными членами и , тогда: а. при ряд сходится;

б. при ряд расходится;

в. при признак не даёт информации о сходимости.

ТЕОРЕМА 5 (радикальный признак Коши). Пусть дан ряд с положительными членами и существует , тогда:

а. при ряд сходится;

б. при ряд расходится;

в. при признак не даёт информации о сходимости.

ТЕОРЕМА 6 (интегральный признак Коши). Пусть , где определена и монотонно убывает на , а также интегрируема на каждом конечном промежутке из L. Тогда: для сходимости ряда необходима и достаточна сходимость интеграла .

Эталонные ряды

1. Геометрический ряд.

2. Обобщенный гармонический ряд.

3. Ряд : сходится при и расходится при .

§3. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимости. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.

Определение. Ряд называется знакочередующимся, если каждые два соседние его слагаемые имеют разный знак:

Сформируем достаточный признак сходимости такого ряда.

ТЕОРЕМА 1 (признак Лейбница). Пусть ряд знакочередующийся, последовательность монотонно убывает и . Тогда ряд (1) сходится, его сумма .

Следствие. , то есть погрешность приближённого вычисления знакочередующегося ряда по частичной сумме не превосходит абсолютной величины первого отброшенного члена.

Пример 1. Сколько слагаемых нужно взять, чтобы вычислить с точностью до 0,001?

Решение. Можно записать два неравенства:

Найдём : . Ответ: 31 слагаемое.

Ряды с произвольным членами, абсолютная и условная сходимости.

Определение. Ряд называется знакопеременным, если его общий член может быть как положительным, так и отрицательным.

Определение. Ряд сходится абсолютно, если сходится ряд .

Определение. Сходящийся ряд, который не сходится абсолютно, называется условно сходящимся.

ТЕОРЕМА 2. Из сходимости ряда следует сходимость ряда .

Абсолютная сходимость сходимость, сходимость абсолютная сходимость.

Замечание. Каждый из рассмотренных нами признаков сходимости знакоположительных рядов может рассматриваться как достоверный признак абсолютной сходимости.

Члены абсолютно сходящегося ряда можно менять местами произвольным образом. Для условно сходящегося — это неверно.

ТЕОРЕМА 3 (Дирихле). Пусть ряд сходится абсолютно и его сумма равна . Тогда ряд , полученный из произвольной перестановкой его членов также сходится абсолютно, причём к той же сумме (без доказательства).

ТЕОРЕМА 4 (Римана). Пусть ряд сходится условно, . Тогда члены ряда можно переставить так, что его сумма будет равна .

§4 Функциональные ряды.

Определение. Пусть — функции, заданные на . Тогда ряд . называется функциональным рядом.

Определение. Ряд называется сходящимся на множестве , если в каждой точке ряд сходится как числовой.

Определение. Функциональный ряд равномерно сходится на множестве , если и . Здесь , .

Пример 1. Геометрический ряд — сходится, если , расходится при . Рассмотрим функциональный ряд: . Этот ряд сходится, если (расходится при ) и его сумма при .

Определение: Функциональный ряд мажорируется на множестве сходящимся числовым рядом , если

ТЕОРЕМА 1 ((Достаточный) признак Вейерштрасса равномерной сходимости функционального ряда). Пусть ряд (1) мажорируется на сходящимся числовым рядом (2). Тогда ряд равномерно сходится на .

Примеры 2-3: Функциональные ряды равномерно сходятся на , так как они мажорируются

§5 Степенные ряды.

Определение. Функциональный ряд вида (1) называется степенным. Здесь — коэффициенты, — центр степенного ряда. Определение: множество точек числовой оси, где сходится ряд (1), называются его областью сходимости.

ТЕОРЕМА 1 (Абеля): 1) Если степенной ряд (1) сходится в точке , то он сходится, причём абсолютно, .

2. Если ряд расходится в точке , то он расходится, .

Область сходимости степенного ряда всегда - промежуток с центром в точке , причём этот промежуток может являться интервалом или полуинтервалом или отрезком.

Определение: радиусом сходимости степенного ряда (1) называется число : при ряд сходится, а вне этого интервала — расходится. Если , то интервал вырождается в точку (в своём центре сходится любой степенной ряд!); — интервал сходимости представляет собой всю числовую ось. Сформулируем результаты, позволяющие вычислить радиус сходимости степенного ряда.

ТЕОРЕМА 2 (Коши-Адамар): Пусть существует .

Тогда ряд сходится при и расходится вне этого интервала. Если , то , если , то .

ТЕОРЕМА 3 (Даламбера). Пусть

Тогда степенной ряд (1) сходится внутри интервала и расходится вне его.

Замечания:

1. При , то есть на концах интервала, теоремы 2 и 3 ответа на вопрос о сходимости не дают. В этих точках требуется отдельное исследование.

2. В каждой из этих точек, как показывают примеры ниже, ряд может как сходиться, так и расходиться.

Пример 1: степенной ряд: . Его сходимости , при ряд расходится как гармонический; , сходится как ряд Лейбница. Таким образом

Определение: интервалом сходимости принято называть .

ТЕОРЕМА 4: Пусть степенной ряд (1) сходится на интервале . Тогда ряд равномерно сходится на отрезке .