Примеры:

Пример 1. Дана матрица прямых затрат. Является ли она продуктивной?

сумма элементов каждого столбца строго меньше единицы. Следовательно, матрица A продуктивна. Отметим, что данный критерий является достаточным. При его нарушении возможна также продуктивность матрицы, которую можно установить, например, по второму критерию.

Пример 2. Исследовать на продуктивность матрицу .

Критерий 3 не выполняется, следовательно, надо проверить существует ли для матрицы (Е – А) неотрицательная обратная матрица (это Н и Д условие).

В данном случае . Обратная матрица для матрицы вычисляется Тогда - эта матрица неотрицательная, Следовательно, A – продуктивна.

Практика 2.

Пример 1. В таблице данные об исполнении баланса за отчетный период.

Отрасли		Потребление		Конечный продукт	Валовой выпуск
		Энергетика	Машиностроение
производство	Энергетика	7	21	72
	Машиностроение	12	15	123

Найти:

1) вектор валовой продукции.

2) Матрицу А коэффициентов прямых производственных затрат.

3) Проверить продуктивность матрицы А

4) Найти матрицу коэффициентов полных производственных затрат.

5) Вычислить необходимый объем валового выпуска каждой отрасли, если конечное потребление энергетики увеличится вдвое, а машиностроение останется на прежнем уровне.

Решение:

1)

Следовательно:

2) Найдем коэффициенты прямых затрат по формуле

i=1, j=1: i=1, j=2:

i=2, j=1: i=2, j=2: Þ

3) Матрица А продуктивная, следовательно для любого вектора конечного продукта Y можно найти необходимый объем валового выпуска Х по формуле:

4) Найдем матрицу ;

5) По условию вектор ;

Ответ: валовой выпуск в энергетике надо увеличить до 179 усл.ед, а в машиностроении до 160,5 усл.ед

Пример 2. (А.В. Идельсон стр. 171 пример 3.)

Система состоит из двух отраслей.

Дана матрица прямых производственных затрат .

Требуется:

1. Проверить продуктивность матрицы А.

2. найти вектор валовой продукции Х, необходимый для того, чтобы обеспечить выпуск конечной продукции Y=(400, 500).

3. Приращение вектора валовой продукции, необходимое для увеличения выпуска конечной продукции соответственно на Y=(100, 50)

Решение.

1. Проверить продуктивность матрицы А.

2. Найти матрицу полных производственных затрат.

3. Вычислить , т.е. чтобы обеспечить выпуск на внешнее потребление 400 ед. продукции 1-й и 500 ед. продукции 2-й отрасли, первая отрасль должна произвести 1000 ед., а вторая 1002 ед. продукции.

4. Найти новый вектор

Валовая продукция 1-й отрасли д.б. увеличена ни 184 ед., а 2-й – на 132 ед.

Пример 3. (31) Пусть дана балансовая модель Даны матрица прямых затрат и вектор валовой продукции. Найти вектор конечной продукции Y.

Пример 4. Дана модель “затраты-выпуск”. Найти производственную программу цехов, т.е. х_ij.