1Введение

Одним из возможных способов анализа электромагнитных явлений в каком-либо устройстве является обращение к его математической модели в виде электрической цепи. Напряжение и ток каждого сосредоточенного элемента цепи в общем случае являются вещественными функциями лишь одной независимой переменной – относительного времени t. Цепи с сосредоточенными элементами (модели Кирхгофа) успешно отражают электромагнитные процессы в системах, размеры которых l₁, l₂, l₃ пренебрежимо малы в сравнении с наименьшей значимой длиной волны:

(l₁, l₂, l₃) << l_min = v_ф/f_max. (0)

Здесь – фазовая скорость электромагнитной волны в безграничной среде с проницаемостями e_a и m_a вокруг исследуемой системы, а f_max – верхняя граница значимого частотного спектра воздействия. Как известно, математической основой анализа процессов в любой цепи с конечным числом сосредоточенных элементов является совокупность динамических характеристик всех элементов цепи и полная система её топологических уравнений, преобразуемая в систему обыкновенных дифференциальных уравнений состояния цепи. При этом выражения переменных состояния цепи находятся однозначно, если известны их начальные значения.

При теоретическом исследовании электромагнитных процессов в устройствах, для которых неравенства (1) не соблюдаются, применяют полевые модели (модели Максвелла), анализируемые методами теории электромагнитного поля (электродинамики).

Однако в ряде случаев все необходимые для практики сведения об электромагнитных свойствах исследуемых устройств можно получить и с помощью теории цепей, расширив соответствующим образом её элементную базу. Например, отрезки двухпроводных и коаксиальных линий, для которых выполняются соотношения:

(l₁, l₂) << l_min = v_ф/f_max

при l₃ > l_max или l₃ @ l_max ,

(где , а f_min - низшая граница значимого частотного спектра воздействия) в теории электрических цепей удовлетворительно моделируют одномерным распределённым четырёхполюсным элементом – отрезком двухпроводной линии передачи (модель Кирхгофа-Томсона).

В дальнейшем ограничимся анализом процессов в цепях, содержащих отрезки только инвариантных во времени однородных линий. Последние служат моделями линий передач, у которых в продольном направлении неизменны и не зависят от времени конфигурация и значения электромагнитных параметров проводников и разделяющих их диэлектриков. В противном случае для моделирования используются отрезки неоднородных линий. На схемах электрических цепей отрезок однородной линии передачи изображают двумя параллельными отрезками прямых с обязательной фиксацией условно положительных направлений напряжения и тока его произвольного сечения (Рис. 1). Электрические цепи, содержащие хотя бы один распределённый элемент – отрезок линии – называют цепями с распределёнными элементами.

2Динамические погонные характеристики линии (телеграфные уравнения)

Рис. 1

Отрезок однородной линии, как и всякий сосредоточенный элемент электрической цепи, определяется своими динамическими характеристиками, под которыми здесь понимают соотношения, связывающие напряжение и ток любого сечения отрезка в любой момент времени.

Выберем поэтому сначала координатную ось x¢, направив её по положительному направлению потока мощности, и отметим на ней произвольно начало отсчёта координаты сечения отрезка линии (Рис. 1).

Столь же произвольно зададимся началом отсчёта относительного времени t. И, наконец, обозначим для краткости через u = u(x¢, t) и i = i(x¢, t) мгновенные значения напряжения и тока в сечении линии с координатой x¢ в момент времени t.

Безупречный вывод динамических характеристик однородной линии возможен лишь на основе теории Максвелла ¹. Поэтому здесь приведём их без вывода и определим однородную линию системой двух дуальных линейных уравнений в частных производных первого порядка:

(0)

Здесь R₀, L₀, G₀ и C₀ – независимые, так называемые первичные или погонные, то есть приходящиеся на единицу длины, параметры линии. Приведённая система однородных линейных уравнений, представляющая динамические погонные характеристики однородной линии, впервые была получена и исследована при теоретическом изучении электромагнитных явлений в линиях дальней телеграфной связи. Поэтому её традиционно называют системой телеграфных уравнений. Следует отметить, однако, что результаты анализа этих уравнений с помощью известной системы аналогий можно с успехом перенести и на другие виды цепей.

Умножая первое уравнение системы на i, второе – на u и складывая, имеем

Проинтегрируем последнее равенство по x¢ в пределах от x¢₁ до x¢₂:

Величина p(x¢, t) = u×i определяет мгновенную мощность как скорость переноса энергии в положительном направлении оси x¢ через сечение линии с координатой x¢ в момент времени t.

Последнее равенство имеет простой физический смысл: сумма скоростей необратимого преобразования энергии и изменения электрической и магнитной энергии участка линии (x¢₁, x¢₂) в момент времени t равна разности мгновенных значений мощности в начале и в конце рассматриваемого участка в тот же момент времени. Оно представляет собой частный случай известной в электродинамике теоремы Пойнтинга: поток мощности выражается здесь произведением напряжения на ток.

Основная задача анализа процессов в однородной линии или её отрезке заключается в том, чтобы путём решения системы (2) в области определения x¢ найти распределения напряжения и тока вдоль линии или её отрезка в любой момент времени t ³ 0. Задача, однако, состоит не в том, чтобы определить бесконечное множество различных выражений мгновенных значений напряжения u = u(x¢, t) и тока i = i(x¢, t), удовлетворяющих системе телеграфных уравнений, а в том, чтобы найти такие функции, которые описывают напряжение и ток отрезка конкретной линии – распределённого компонента заданной цепи. А для этого надо поставить ряд дополнительных ограничений, выражаемых начальными и граничными (краевыми) условиями.

Начальные условия описывают распределение напряжения и тока вдоль линии или её отрезка накануне коммутации (t = 0-) и играют в данном случае такую же роль, что и начальные условия в цепях с сосредоточенными элементами, с той лишь разницей, что u(x¢, t) и i(x¢, t) зависят, вообще говоря, от некоторых функций u(x¢, 0-) и i(x¢, 0-), тогда как u(t) и i(t) любого элемента цепи с сосредоточенными элементами зависят от определённого числа начальных значений токов катушек, напряжений конденсаторов и задающих напряжений и токов.

Иной характер имеют граничные (краевые) условия. Они устанавливают функциональную связь между напряжением и током либо их выражения или значения в начале и в конце отрезка линии в любой момент времени t ³ 0. Граничные условия тесно связаны с доказательством теоремы существования и единственности решения телеграфных уравнений.

В результате достаточно длительного воздействия источников постоянного или периодически изменяющегося напряжения или тока отрезок линии придёт к установившемуся режиму, в котором напряжение и ток его любого сечения либо неизменны во времени (стационарное состояние), либо изменяются периодически. Изменение граничных условий отрезка линии вызовет изменение установившихся распределений напряжения и тока. Однако переход к новому установившемуся режиму, характеризуемому функциями u_пр(x¢, t) и i_пр(x¢, t), произойдёт не сразу. В отрезке линии возникнут свободные колебания напряжения и тока, которые описываются функциями u_св(x¢, t) и i_св(x¢, t). Как и в теории цепей с сосредоточенными элементами, будем считать, что во время переходного процесса напряжение и ток любого сечения отрезка линии получается сложением установившихся и свободных колебаний

, .

Функции принуждённых составляющих u_пр(x¢, t) и i_пр(x¢, t) выберем так, чтобы они удовлетворяли системе телеграфных уравнений и заданным граничным условиям. Тогда вторые составляющие – функции u_св(x¢, t) и i_св(x¢, t) – должны также удовлетворять телеграфным уравнениям и граничным условиям отрезка линии в цепи, “освобождённой” от активных элементов. Постоянные интегрирования могут быть вычислены из начальных условий после суммирования обеих составляющих напряжения и тока.

Несмотря на внешнюю простоту телеграфных уравнений, их аналитическое решение для произвольных граничных условий отсутствует.

В этой главе исследуются лишь установившиеся процессы в отрезках однородной линии. Поэтому в дальнейшем для упрощения записи индекс “пр” в обозначениях мгновенных, амплитудных и действующих значений напряжения и тока будет опущен.

Задача существенно облегчается при анализе гармонического процесса в отрезке линии, поскольку в этом случае известен закон изменения напряжения и тока во времени в произвольном сечении отрезка и остаётся лишь найти распределение их амплитуд и начальных фаз вдоль отрезка линии.