2.2. Байесовские одноэтапные алгоритмы распознавания

Ниже рассматриваются исходные и аддитивные структуры алгоритмов (разд. 2.2.1 - 2.2.3) и приводятся примеры элементов этих алгоритмов, в том числе для широкополосных сигналов (разд. 2.2.4).

2.2.1. Исходные структуры алгоритмов

Для составления алгоритмов вводятся: 1) априорные вероятности Р_i при­надлежности объектов классам алфавита; 2) случайные многомерные реализации принимаемых выборок у ; 3) условные плотности вероятности ре­ализации у при наличии только помехи р_п (у), при наличии помехи и сигнала от объекта i-го класса р(у I i )= р_сп(у I i), а также при наличии помехи и сигнала произвольного класса (одного из классов)

4) вероятности многомерных реализаций в пределах от у до у + dу, соответст­вующие двум последним плотностям вероятности,

P(y I i) = p(y I i)dy и P(y) = p(y)dy (2.1)

Из формул умножения вероятностей при совмещении событий I и y

Р(i, y) = Р(i I y)Р(y) = Р_iР(y I i)

определяются послеопытные (после приема реализаций у) вероятности реали­зации классов у. С учетом (2.1) они выражаются через соответствующие плот­ности вероятности

P(y I i) = P_iP(y I i) / P(y) = P_ip(y I i) / p(y)

Учтем, что после приема реализации у, на этапе выбора оценки номера класса i можно зафиксировать не зависящие от i постоянные

С₁ = 1/р(у) и С₂ = p_п(y)/p(y).

В результате приходим к двум эквивалентным представлениям послеопытных вероятностей классов

P(i I y) = C₁P_ip(y I i) = C₂P_il(y I i). (2.2)

При этом отношение

l(y I i) = p(y I i)/p(y) (2.3)

называют отношением правдоподобия выборки у для элемента i заданного алфавита, функцию р(у I i) - функцией правдоподобия значений i.

Соотношения (2.2) позволяют перейти к алгоритмам классификации (в порядке нарастания общности): 1) максимума правдоподобия; 2) максимума послеопытной вероятности; 3) минимума среднего риска.

Алгоритм максимума правдоподобия соответствует принятию решения по максимуму (2.2) в предположении равновероятного появления объектов раз­личных классов Pi = 1/M = const. Тогда оценка номера класса i на­ходится из соотношения

k = arg max_i p(y I i) или k = arg max_i l(y I i). (2.4)

Алгоритм максимума послеопытной вероятности рассчитан на произволь­ные априорные вероятности P _i появления объектов различных классов. Он имеет вид

k = arg max_i [P_ip(y I i)] или k = arg max_i [P_il(y I i)] (2.5)

Алгоритм минимума среднего риска учитывает неодинаковую значимость различных ошибок и правильных решений для потребителя информации. В предположении "полупростой" матрицы стоимостей (разд. 1.9) он имеет вид

k = arg max_i [r_iP_ip(y I i)] или k = arg max_i [r_iP_il(y I i)] (2.6)

где r_i - неодинаковые в общем случае "премии" за правильные решения.