- •Саратовский государственный технический университет применение метода начальных параметров к расчету балки на упругом основании
- •Саратов 2011 содержание
- •Введение
- •Цель работы
- •Постановка задачи
- •Задание
- •Определение начальных параметров y0, φ0, m0, q0 из условий закрепления балки по концам
- •Построение эпюр y (z), φ (z), m (z), q (z) и реактивных давлений r (z)
- •Порядок выполнения работы
- •Содержание и оформление отчета о работе
- •Контрольные вопросы
- •Варианты заданий
- •1. Таблица числовых значений
- •2. Расчетные схемы балок
- •3. Схемы нагрузок
- •Программа расчета балки на упругом основании
- •Программа
- •Контрольные примеры Контрольный пример I
- •Контрольный пример II
- •Литература Основная
- •Дополнительная
Цель работы
Объектом исследования являются вопросы расчета на прочность и жесткость балок конечной длины на упругом основании с учетом гипотез проф. Винклера.
В процессе выполнения работы:
- изучается методика записи универсальных уравнений изгиба балок на
упругом Винклеровском основании;
- изучается методика определения величин начальных параметров;
- рассматриваются вопросы построения по длине балки эпюр прогиба,
углов поворота, изгибающих моментов и поперечных сил;
- рассматриваются особенности применения ПЭВМ при решении задач
изгиба балок на упругом основании;
- приобретаются навыки подготовки исходных данных и использования
ПЭВМ для расчета балок конечной длины на упругом основании.
Постановка задачи
Рассматриваются прямые стержни (балки), лежащие на сплошном упругом основании и находящиеся в условиях плоского поперечного изгиба, когда все внешние силы (нагрузки), реактивное давление основания и реакции опор лежат в плоскости, проходящей через одну из главных центральных осей инерции каждого поперечного сечения балки.
Предполагается, что способы определения положения этих осей студентам известны, поэтому этот этап расчета опускается и рассматриваются поперечные сечения, для которых положение по крайней мере одной из этих осей очевидно. К таковым относятся все сечения, имеющие по крайней мере одну ось симметрии, например, ось ОУ. В этом случае главная центральная ось совпадает с этой осью – рис. 1.
Рис. 1
4
Действующая на балку реальная нагрузка представляется в виде сосредоточенных сил (Кн), сосредоточенных моментов (Кн м) и распределенных нагрузок (Кн/м), рис. 1.
По концам балки могут опираться различным образом: свободное опирание, рис. 2 а, б, при котором в ноль обращаются изгибающий момент М и поперечная сила Q, шарнирное опирание, рис. 2 в, г, при котором в ноль обращаются прогиб y и изгибающий момент М, защемление, рис. 2 д, е, при котором в ноль обращаются прогиб y и угол поворота сечения φ.
Рис. 2
Задание
Для заданной балки на упругом основании требуется:
1. Составить уравнения прогибов y (Z), углов поворота φ (Z), изгибающих моментов М(Z), поперечных сил Q(Z) с использованием метода акад. А. Н. Крылова.
2. Определить начальные параметры y0, φ0, M0, Q0 из условий закрепления балки по концам.
3. Построить эпюры y (Z), φ (Z), M (Z), Q (Z) и реактивных давлений грунта R(z) по длине балки с использованием ПЭВМ IВМ.
ТЕХНИЧЕСКИЕ И ЯЗЫКОВЫЕ СРЕДСТВА
ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ
При выполнении работы используется микрокалькулятор любого типа, алгоритмический язык PASCAL 7.0 [5] и ПЭВМ.
5
СОСТАВЛЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ПРОГИБОВ y (Z),
УГЛОВ ПОВОРОТА φ (Z), ИЗГИБАЮЩИХ МОМЕНТОВ М(Z)
И ПОПЕРЕЧНЫХ СИЛ Q(Z)
В соответствии с гипотезой проф. Винклера считаем деформацию упругого основания в каждой точке пропорциональной давлению в данной точке, поэтому реакция основания R (Z) получается пропорциональной прогибу балки y (Z) [1]:
R (Z) = K y(Z), (1)
где коэффициент пропорциональности К называется коэффициентом погонной жесткости упругого основания (“коэффициентом постели”) и измеряется в Паскалях (1 ПА = 1 н/м2); y (Z) – прогиб балки (м), R (Z) – реактивное погонное давление упругого основания (н/м). Коэффициент погонной жесткости упругого основания подсчитывается по формуле [3]:
K = K0 b, (2)
где К0 - коэффициент жесткости упругого основания, измеряемый в н/м3, b - ширина балки (м) в нижней ее части.
Дифференциальное уравнение изогнутой оси балки на упругом основании имеет вид [4]:
y(IV) + 4 α4 y = q (Z) / EI, (3)
где коэффициент α = (м-1), E - модуль упругости материала балки (Па), I - момент инерции сечения балки (м4), q (Z) – интенсивность поперечной нагрузки (н/м).
В соответствии с методом акад. А. Н. Крылова решение уравнения (3) записываем в виде [1]:
y (Z) = C1 y1 (αZ) + C2 y2 (αZ) + C3 y3 (αZ) + C4 y4 (αZ) + . (4)
Здесь постоянные С1, С2, С3, С4 определяются из условий закрепления балки по концам. Они связаны с начальными параметрами y0, φ0, M0, Q0, представляющими собой соответственно прогиб, угол поворота сечения, изгибающий момент, поперечную силу в сечении Z = 0 на левом конце балки, формулами [4]:
C1 = y0, C2 = φ0 / α, C3 = - M0 / (E I α2), C4 = - Q0 / (E I α3 ). (5)
В (4) функции y1, y2, y3, y4 имеют вид [4]:
y1 (αZ) = chαZ cosαZ, y2 (αZ) = (chαZ sinαZ + shαZ cosαZ), (6)
y3 (αZ) = shαZ sinαZ, y4 (αZ) = (chα sinαZ – shαZ cosαZ).
6
Производные от функций y1, y2, y3, y4 вычисляются по формулам:
(y1)́Z = -4α y4; (y2)́Z = α y1; (y3)́Z = α y2; (y4)́Z = α y3. (7)
Прогиб y (Z), угол поворота сечения φ (Z), изгибающий момент M (Z) и поперечная сила Q (Z) вычисляются по формулам:
(8)
Частное решение в (8) имеет вид - рис. 3.
Рис. 3
7
, (9)
,
.
Если приложенная к балке распределенная нагрузка qi не доходит до правого края балки, то ее условно продлевают до конца балки, а влияние этой добавки компенсируют той же нагрузкой с обратным знаком, рис. 4.
y
Рис. 4
При этом частное решение будет следующим:
. (10)
Отметим, что частное решение может содержать несколько слагаемых, определяемых по формулам (9) и (10).
При составлении уравнений (8) используется следующее правило знаков для : если внешний силовой фактор дает относительно данного сечения момент по часовой стрелке, то в уравнения (8) соответствующее слагаемое вводят со знаком минус.
Необходимо помнить, что при определении функций y (Z), φ (Z),
M (Z), Q (Z) в сечении Z = Zi учитываются лишь силы, расположенные слева от данного сечения.
Рассмотрим пример составления уравнений y (Z), φ (Z), M (Z), Q (Z) для балки, изображенной на рис. 5.
На балку, защемленную на левом конце и шарнирно опертую на правом, действует сосредоточенная сила Р в сечении “1” Z = 2 м, сосредоточенные моменты m1 в сечении “2” Z = 4 м и m2 в сечении “3” Z = 6 м, а также распределенная нагрузка q на участке от сечения “1” Z = 2 м до сечения “2” Z = 4 м.
8
Рис. 5
Возможно записать уравнения для y (Z), φ (Z), M (Z), Q (Z) для каждого характерного участка балки, то есть для участков 0-1, 1-2, 2-3, 3-4, рис. 5, но такая запись затруднительна при большом количестве характерных участков.
В этой связи записываем универсальные уравнения для y (Z), φ (Z), M (Z), Q (Z) для всей балки, включая в них индексы характерных сечений “1”, “2”, “3”, положение которых определяется приложенными силовыми факторами:
9
Индексы характерных сечений “1”, “2”, “3” в уравнениях ставятся непосредственно перед слагаемым, включающим силовой фактор, приложенный в конкретном характерном сечении балки. Данные индексы указывают, что стоящие за ними слагаемые учитываются, лишь начиная с данного характерного сечения.
В этой связи слагаемое, включающее момент m2, учитывается лишь для сечений с Z ≥ Z3 = 6 м, слагаемое, включающее силу Р, учитывается лишь для сечений с Z ≥ Z2 = 2 м, а слагаемое, учитывающее окончание участка с равномерно распределенной нагрузкой q, учитываются лишь для сечений с Z ≥ Z2 = 4 м. Очевидно, что слагаемое, учитывающее момент m1 , учитывается лишь для сечений с Z ≥ Z1 = 4 м, а слагаемое, учитывающее нагрузку q, учитываются лишь для сечений с Z ≥ Z1 = 2 м.
Например, в сечениях Z = 8 м, Z = 7 м учитываются все слагаемые в уравнениях, в сечении Z = 5 м не учитывается по одному последнему слагаемому, в сечении Z = 3 м – по три последних слагаемых в уравнениях. Очевидно, что в сечении Z = 1 учитываются лишь первые четыре слагаемых в уравнениях для y (Z), φ (Z), M (Z), Q (Z).