16 Математичне сподівання випадкової величини

Функція розподілу ймовірностей або щільність ймовірності є повними імовірнісними характеристиками випадкової величини. Однак, у багатьох завданнях така повна характеристика випадкової величини, з одного боку, може бути невідома для дослідника, а з іншого боку і не обов'язкова, достатньо обмежитися значенням деяких параметрів розподілу ймовірностей, тобто деяких чисел (або числових характеристик). Тут доречна аналогія з геометричним описом складної форми твердого тіла, коли обмежуються такими характеристиками (числами) як довжина, ширина, висота, об'єм, момент інерції, і т.д., а детальний опис складної форми цього тіла не розглядається. Числовими характеристиками випадкових величин найчастіше служать так звані моменти розподілу, найпростішим з яких є математичне сподівання випадкової величини. Перш ніж вводити визначення математичного очікування випадкової величини, розглянемо вираз середнього арифметичного результатів вимірювання дискретної випадкової величини. Нехай випадкова величина може приймати значення відповідно з ймовірностями . Результат вимірювання випадкової величини в кожному досвіді - це одне з чисел . Нехай виконано дослідів, серед них у дослідах випадкова величина приймала значення , В дослідах - значення ,..., В дослідах - значення . Очевидно, - Повне число дослідів. Нехай - Середнє арифметичне результатів вимірювання випадкової величини в дослідах, тоді , (37.1) де - Частота появи числа при вимірюванні випадкової величини в дослідах. Зі збільшенням числа дослідів величина наближається до числа . Тому для того, щоб визначити теоретичний аналог середнього арифметичного досить у формулі (37.1) частоту замінити на ймовірність . Це призводить до наступного визначення. Математичним очікуванням (середнім, статистичними середнім) дискретної випадкової величини , Що приймає значення з імовірностями , Називається число . (37.2) Якщо безліч значень дискретної випадкової величини лічильно: , То в (37.2) покладається . Нехай - Однозначна функція однієї змінної, - Дискретна випадкова величина, що приймає значення з імовірностями . Тоді - Дискретна випадкова величина, що приймає значення з імовірностями . Тому з визначення (37.2) математичного очікування слід (37.3) - Вираз, що визначає математичне сподівання функції . Математичним очікуванням неперервної випадкової величини з щільністю розподілу ймовірностей називається число . (37.4) Аналогічно визначається математичне сподівання випадкової величини - Як число , (37.5) де - Однозначна функція однієї змінної, - Щільність розподілу ймовірностей випадкової величини . 37.2. Визначення (37.2) і (37.4) узгоджуються один з одним. Співвідношення (37.4) можна представити приблизно у вигляді інтегральної суми: , (37.6) де - Мала величина. Тоді , І отже, (37.4) формально представимо сумою (37.2). Якщо - Дискретна величина, що приймає значення з імовірностями , То її щільність ймовірності можна представити через - Функцію: . (37.7) Підставимо (37.7) в (37.4), тоді , (37.8) що збігається з (37.2). Таким чином, визначення (37.4) математичного очікування можна використовувати як універсальне визначення як для безперервних, так і для дискретних випадкових величин. Однак обчислювати математичне сподівання дискретної випадкової величини, звичайно, зручніше за формулою (37.2). Вираз (37.4) можна представити через функцію розподілу випадкової величини . Для цього виконаємо наступні перетворення: . Далі використовуємо для обчислення інтеграла спосіб «по частинах»: . Нехай функція задовольняє умовам: , , Тоді . (37.9) Це вираз дозволяє обчислювати математичне сподівання через функцію розподілу .