Математична модель.
Задачу, що виконується в системі «Технологічний процес, — АСУТП», можна сформулювати таким чином: за отриманими даними про технологічний процес скласти прогноз ходу технологічного процесу, а також скласти і реалізувати такий план керуючих дій (у тому числі зміна режимів роботи устаткування), щоб в певний момент часу стан технологічного процесу відповідав деякому екстремальному значенню узагальненого критерію якості процесу. Для вирішення цього завдання необхідно мати математичну модель процесу, яка складає основний зміст алгоритму управління, що реалізовується АСУТП.
У загальному вигляді математична модель системи технологічний процес — АСУТП є залежністю, що має вигляд
y(t+Δt)
=
{u(t)+
y(t);
[ξ(τ),
η(τ)]}.
(1.1)
Тут вектор у = {у1 ,y2, ..., уп} — вихідна змінна; Δt — час від початкового циклу дії АСУТП до отримання контрольної інформації про результат цієї дії; — оператор дії АСУТП в цілому; вектор u(t) = {и1(t), u2(t) ..., ип(t)} — вхідні контрольовані впливи; і — відповідно оператор керуючих впливів, і оператор впливів, що не керують; вектор ξ(τ) = {ξ1(τ),ξ2(τ),….,ξn(τ)} - контрольовані, але некеровані впливи (наприклад, вимірювані параметри початкових матеріалів, використовуваних в процесі); вектор η(τ) = {η1(τ), η2(τ), …., ηn(τ)} — неконтрольовані дії.
У виразі (1.1) інтервали зміни часових параметрів t і τ мають наступний вигляд:
t0 ≤ t ≤ t0 + T , t ≤ τ ≤ t+Δt,
де t0 — початок відліку часу; Т — тривалість інтервалу спостереження за поведінкою процесу.
У початковий момент часу у(t0) = 0, тобто результат впливу системи управління дорівнює нулю. Отже, у(t) для АСУТП є кусочно-гладка монотонна неубутна функція, оскільки негативне значення випуску продукції не має сенсу. За початковий момент t0 у функції у(t) можна прийняти будь-який момент часу.
З врахуванням обмеженості ресурсів системи управління і технологічного процесу вид математичної моделі насамперед залежить від співвідношення між часом реалізації керуючого впливу і тривалістю циклу технологічного процесу. У загальному випадку час запізнювання τзап керуючого впливу щодо зміни стану технологічного процесу визначається співвідношенням
τзап = nτпр. (1.2)
Тут п — деяка константа, 0 < п < ∞; τпр — час, що минув від зміни стану вхідних параметрів процесу до зміни вихідних параметрів (час процесу).
Для АСУТП з керуючими ЕОМ завжди п > 0; якщо 0 < п ≤ 1, то можливе синхронне управління в реальному часі. В цьому випадку
τзап = τвв + τоб + τвив + τзап ≤ τпр , (1.3)
де τвв і τоб — час введення і обробки інформації про процес в ЕОМ; τвив — час відробітку керуючої дії, τзап — час «чистого» запізнювання, тобто час від початку дії нових керуючих впливів y(t) до отримання контрольної інформації про нове значення вихідний змінної.
Одним з простих практичних прикладів реалізації математичної моделі з часовим співвідношенням 0 < п ≤ 1 (синхронне управління в реальному часі) служить багатоконтурна стабілізація параметрів процесу по одному з відомих законів регулювання (пропорційне регулювання – П-закон; пропорційно-інтегральне регулювання – ПІ-закон; пропорційно-інтегрально-диференціальне регулювання – ПІД-закон) в режимі прямого цифрового управління від ЕОМ.
При п > 1 можна управляти не поточним, а тільки подальшим станом стаціонарних процесів. В цьому випадку керуюча ЕОМ реалізує циклічний алгоритм управління в масштабі часу, кратному реальному (п = 1, 2, 3 ...). Практичними прикладами можуть служити також різні алгоритми адаптивного управління. Слід зазначити, що граничний випадок п → ∞ має ясний фізичний сенс: він відповідає стану системи управління без зворотного зв'язку (з порушеним зворотним зв'язком).
Вельми часто при проектуванні АСУТП, що реалізовує синхронний алгоритм управління, доводиться враховувати, що некеровані дії ξ(τ) і η(τ), що існують в процесі, можуть бути визначені і враховані не в поточному, а в подальшому стані процесу (наприклад, після попередньої статистичної обробки результатів управління процесом). Оскільки η(τ) — вектор випадкових впливів, характер яких в загальному випадку невідомий, вираз (1.1) приймає вигляд
My(t+Δt) = M {u(t) + [My(t)], ξ(τ)}, (1.4)
де M — символ математичного очікування. В цьому випадку доцільно говорити про «синхронно-циклічний» алгоритм управління.
Приведений загальний аналіз алгоритму роботи системи «Технологічний процес - АСУТП» можна розповсюдити на процеси безперервні, напівбезперервні і дискретні з врахуванням ієрархічності виробництва.