Алгебра событий.

Суммой событий А и В называется событие А+В, которое заключается в том, что происходит хотя бы одно из этих событий.

Произведением событий А и В называется событие АВ, которое заключается в том, что происходят оба этих события. Если АВ – невозможное событие, то события А и В называются несовместными.

Разностью между событием А и событием В называется событие А–В, которое заключается в том, что событие А происходит, а событие В не происходит.

Событием, противоположным событию А, называется событиеА, которое заключается в том, что событие А не происходит.

Задача 4. Докажите, что А – В = А В; А =  – А.

Поскольку для нас события – это подмножества пространства , то суммой двух событий будет объединение соответствующих множеств, а произведением – пересечение этих множеств. Разность событий – это разность множеств, а противоположное событие – это дополнение множества А до пространства . То есть речь у нас фактически идет не о введении новых понятий (операций над событиями), а о введении новой терминологии. Это введение оправдано тем, что, во-первых, новая терминология отвечает исторической традиции, а, во-вторых, она лучше позволяет осознать специфику ситуации. Так, фразы «событие А влечет событие В» и «множество А содержится во множестве В» означают одно и то же, однако первая все же несет некую дополнительную информацию – речь, дескать, идет не просто о множествах, а о подмножествах некоторого пространства элементарных исходов…

Но так как все-таки операции над событиями есть обыкновенные теоретико-множественные операции, то для них справедливы все свойства этих операций.

Задача 5. Докажите, что A(B+C) = AB+AC; .

Задача 6. Антон, Борис и Сергей сдают экзамен. Событие А заключается в том, что Антон получил пятерку, В – Борис получил пятерку, С – Сергей получил пятерку. Задайте с помощью операций умножения, сложения и перехода к противоположному событию следующие события:

а) мальчики получили ровно 1 пятерку;

б) мальчики получили ровно 2 пятерки;

в) мальчики получили не менее двух пятерок;

г) мальчики получили не более 1 пятерки;

д) Борис и еще один из мальчиков получили пятерки.

Что в данной ситуации является пространством элементарных исходов? Сколько в нем элементов? Сколько исходов благоприятствуют каждому из приведенных выше событий?

Вероятностное пространство

Пусть – пространство элементарных исходов. Вероятностью на пространстве  называется заданная на этом пространстве числовая функция Р, обладающая двумя свойствами:

1. Р(_i)  0 для всех i;

2. Р(₁) + Р(₂) + Р(₃) + … = 1

Величину Р(_i) называют вероятностью исхода _i и обозначают р_i. Эта величина характеризует частоту появления данного исхода в результате проведения серии экспериментов.

Вероятность на пространстве  удобно бывает задавать с помощью таблицы:

1	2	3	…
р1	р2	р3	…

Такая таблица иногда называется распределением вероятности на пространстве .

Задача 7. Пространство  состоит из 4 исходов, вероятности которых пропорциональны числам 1, 2, 3 и 4. Определить эти вероятности.

Пространство элементарных исходов  с заданной на нем вероятностью Р называется вероятностным пространством.

Вероятностью события А называется сумма вероятностей элементарных исходов, благоприятствующих этому событию: . При этом вероятность невозможного события полагается равной нулю.

Задача 8. Пусть . Известно, что Р(А) = 0,8; Р(В) = 0,6. Найти вероятности всех элементарных исходов.

Свойства вероятности.

1. Р() = 1

2. 0Р(А)1 для любого события А

3. Если АВ, то Р(А)Р(В)

4. Если события А и В несовместны, то Р(А+В) = Р(А) + Р(В)

5. Р(А+В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ) для любых событий А и В

6. .

Центральное место среди этих свойств занимает, несомненно, свойство 4. Присмотритесь к нему внимательно и испытайте радость узнавания – это знакомое нам по комбинаторике свойство аддитивности (или правило сложения), только вместо количества элементов во множествах А и В здесь мы имеем дело с вероятностями соответствующих событий.

Задача 9. Докажите свойства 1 – 6.

Важный пример.

Пусть у нас имеется вероятностное пространство (, Р), где , а вероятность Р задана набором чисел р₁, р₂, р₃, … . Известно, что в результате некоторого эксперимента произошло событие А = , однако не известно, какой именно элементарный исход имел место. Что можно сказать о вероятности исхода _i с учетом этой информации? Обозначим эту вероятность через p_i(A). Понятно, что при i>k следует считать p_i(A) = 0. При ik числа p_i(A) должны быть пропорциональны числам p_i, то есть можно положить p_i(A) = kp_i. При этом должно выполняться условие p₁(A)+p₂(A)+p₃(A)+…+p_k(A) = 1, то есть k(p₁+p₂+p₃+…+p_k) = 1. Но сумма, стоящая в скобках, – это вероятность события А. Таким образом kp(A) = 1 и . Итак, мы построили новое вероятностное пространство, для которого пространством элементарных исходов является множество А, а вероятности элементарных исходов задаются формулами .

Задача 10. Как найти вероятность события В, если известно, что произошло событие А?

Решение. Вероятность события В (при условии, что произошло событие А) – это сумма тех p_i(A), для которых . Так как p_i(A) отличны от нуля лишь тогда, когда , то окончательно имеем, что искомая вероятность равна .

Найденная нами в задаче 9 величина носит название условной вероятности и обозначается p(BA) (читается «вероятность B при условии A»). Таким образом имеем:

(1)

Обычно эта формула служит определением условной вероятности. Формулу (1) обычно используют для определения вероятности произведения двух (или нескольких) событий:

р(АВ) = р(А)р(ВА) (2)

Задача 11. Доказать, что если р(ВА) = р(В), то р(АВ) = р(А).

Результат этой задачи позволяет дать следующее определение:

События А и В называются независимыми, если р(АВ) = р(А)р(В).

Независимость двух событий означает, что вероятность каждого из них не зависит от того, произошло другое событие или нет, то есть р(ВА) = р(В) и р(АВ) = р(А).