2.1.2 Указания по выполнению задания к-1

Задачи К-1.1, К-1.2 относятся к кинематике точки и решаются с помощью формул, по которым определяются скорость и ускорение точки в декартовых координатах (координатный способ задания движения точки), а также формул, по которым устанавливаются скорость, касательное и нормальное ускорения точки при естественном способе задания ее движения. В задачах все искомые величины определить для момента времени t₁ = 1с.

2.1.3 Примеры выполнения задания к-1

Пример К-1.1. Даны уравнения движения точки в плоскости Оху:

(см); (см).

Определить уравнение траектории точки, скорость и ускорение точки, в том числе касательное и нормальное ускорения для момента времени t₁=1 с, радиус кривизны в соответствующей точке траектории.

Решение:

Для определения уравнения траектории точки исключим из заданных уравнений движения время t. Поскольку t входит в аргументы тригонометрических функций, где один аргумент вдвое больше другого, используем формулу или .

Из уравнений движения находим выражения соответствующих функций и подставляем в вышеприведенное равенство. Получим:

,

следовательно, .

Отсюда окончательно находим уравнение траектории точки:

. (2.1)

График этой функции изображен на рис. 2.1 (парабола). Траектория движения точки – верхняя часть параболы.

Рис. 2.1. Траектория движения точки

Скорость точки найдем по ее проекциям на координатные оси:

; ;

. (2.2)

При t₁ = 1 с см /с, см /с, см /с.

Аналогично определим ускорение точки:

; ;

. (2.3)

При t₁ =1c см/с², см/с², см/с².

Касательное ускорение вычислим, дифференцируя по времени формулу (2.2):

откуда . (2.4)

Числовые значения величин, входящих в правую часть выражения (2.4), определены выше, и поэтому найдем сразу, что при с см /с².

Нормальное ускорение точки . Подставляя найденные числовые значения а, и а_1τ, получим, что при t₁=1 с см/с².

Радиус кривизны траектории . Подставляя в уравнение числовые значения и определим для момента времени с радиус кривизны – см.

Покажем на рис. 2.1 точку М с координатами:

Изобразим векторы скорости и ускорения (см. рис. 2.1).

Ответ: см/с, см/с², см/с², см/с², см.

Пример К-1.2. Точка движется по дуге окружности радиусом R = 2 м по закону , где (рис. 2.2). Определить скорость точки в момент времени t₁ = 1 с.

Решение:

Определяем скорость точки: . При t₁ =1с

м/с.

Вектор скорости лежит на касательной к траектории движения данной точки и направлен в сторону возрастания дуговой координаты.

Ускорение находим по его касательной и нормальной составляющим:

; ; .

При t₁ =1с и R = 2 м получим: м/с²;

м/с²; м/с².

Изобразим на рис. 2.2 векторы и , считая положительным направление от А к М.

Приложения А

Образец оформления титульного Титульный листа

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

Орловский государственный технический Университет

Кафедра - "Теоретическая и прикладная механика"

Расчетно-графическая работа

по дисциплине "Теоретическая механика"

Название работы

Работу выполнил студент

Группа

Специальность

Вариант

Руководитель

Орел, 200 г.

Литература

1. Тарг, С.М. Краткий курс теоретической механики/ С.М. Тарг. - М.: Наука, 1972. – 478 с.

2. Яблонский, А.А. Курс теоретической механики. Часть 1, 2/ А.А. Яблонский, В.М. Никифорова. - М.: Высш. школа, 1984. – 343 с.

3. Добронравов, В.В. Курс теоретической механики/ В.В. Добронравов, Н.Н. Никитин, А.Л. Дворников. - М.: Высш. школа 1983. – 575 с.

4. Воронков, И.М. Курс теоретической механики/ И.М. Воронков. - М.: Наука, 1966. – 596 с.

5. Савин, Г.Н. Курс теоретической механики/ Г.Н. Савин, Т.В. Путята, Б.Н. Фрадлин. - Киев: Высш. школа, 1973. – 359 с.

6. Лойцянский, Л.Г. Курс теоретической механики. Т.1./ Л.Г. Лойцянский, А.И. Лурье. - М.: Наука, 1982. – 352 с.

7. Бать, М.И. Теоретическая механика в примерах и задачах. Часть 1./ М.И. Бать, Г.Ю. Джанелидзе, А.С. Кельзон. - М.: Наука, 1984. – 503 с.

8. Ешуткин, Д.Н. Сборник задач по теоретической механике/ Д.Н. Ешуткин, А.И. Пономарев, Е.Н. Грядунова. – Орел: ОрелГТУ, 2005. – 88с.