1.2. Аппроксимация экспериментальные значений пределов выносливости
В курсовой работе аппроксимация будем выполнять следующими законами распределения:
Вейбулла с тремя параметрами;
нормальным (Гаусса);
логарифмически нормальным.
Функция распределения
и плотность распределения
трёхпараметрического закона Вейбулла
имеют следующий вид:
(1.4)
, где (1.5)
–
параметры масштаба,
формы и сдвига соответственно;
х-значение случайной величины.
Плотность нормального распределения имеет вид:
, где (1.6)
– математическое ожидание и среденеквадратическое отклонение соответственно.
(1.7)
(1.8)
Плотность логарифмически нормального распределения имеет вид:
, где (1.9)
Xln математическое ожидание;
среднеквадратическое отклонение.
(1.10)
(1.11)
Поскольку для нормального и логарифмически нормального закона функция распределения в явном виде не существует, для определения ее значений воспользуемся таблицей стандартного нормального распределения.
Стандартным называется такое нормальное распределение, у которого математическое ожидание равно 0, а среднеквадратическое отклонение равно 1.
, где
(1.12)
Ф(t) – функция стандартного нормального распределения случайной величины t.
Д
ля
нормального закона:
(1.13)
Для логарифмически нормального:
(1.14)
Результаты расчётов сводим в таблицу, при помощи которой строим графики функции и плотности распределения для всех трёх законов. На график плотности наносим гистограмму и полигон, на график функции – эмпирическую функцию распределения.
Таблица 1.2.1.
-1 |
закон Вейбулла |
нормальный закон |
логарифмически нормальный закон |
|||
f(-1) |
F(-1) |
f(-1) |
F(-1) |
f(-1) |
F(-1) |
|
631 |
0 |
0 |
0,003 |
0,024 |
0,003 |
0,021 |
635 |
0,004 |
0,007 |
0,005 |
0,039 |
0,005 |
0,036 |
639 |
0,008 |
0,031 |
0,007 |
0,062 |
0,007 |
0,059 |
643 |
0,012 |
0,071 |
0,009 |
0,095 |
0,010 |
0,092 |
647 |
0,015 |
0,126 |
0,012 |
0,138 |
0,013 |
0,136 |
651 |
0,018 |
0,192 |
0,015 |
0,193 |
0,016 |
0,193 |
655 |
0,020 |
0,268 |
0,018 |
0,260 |
0,019 |
0,261 |
659 |
0,021 |
0,350 |
0,020 |
0,337 |
0,021 |
0,340 |
663 |
0,021 |
0,433 |
0,022 |
0,422 |
0,022 |
0,426 |
667 |
0,020 |
0,516 |
0,022 |
0,510 |
0,022 |
0,516 |
671 |
0,019 |
0,595 |
0,022 |
0,598 |
0,021 |
0,603 |
675 |
0,017 |
0,668 |
0,020 |
0,682 |
0,020 |
0,686 |
679 |
0,015 |
0,733 |
0,017 |
0,757 |
0,017 |
0,760 |
683 |
0,013 |
0,790 |
0,015 |
0,821 |
0,014 |
0,822 |
687 |
0,011 |
0,838 |
0,012 |
0,873 |
0,011 |
0,873 |
691 |
0,009 |
0,878 |
0,009 |
0,914 |
0,009 |
0,913 |
695 |
0,007 |
0,909 |
0,006 |
0,944 |
0,006 |
0,942 |
699 |
0,005 |
0,934 |
0,004 |
0,965 |
0,004 |
0,963 |
703 |
0,004 |
0,953 |
0,003 |
0,979 |
0,003 |
0,977 |
707 |
0,003 |
0,968 |
0,002 |
0,988 |
0,002 |
0,987 |
Рис. 1.2.1. Функция распределения пределов выносливости стали 55С2
Рис. 1.2.2. Гистограмма, полигон и плотность распределения пределов выносливости стали 55С2