Методичка элетротехника 2013

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

Коэффициент мощности — важный эксплуатационный параметр электроприемников. Так как

то чем выше cos , тем при меньшем значении тока в цепи может быть произведено преобразование электроэнергии в другие виды энергии. Это приводит к уменьшению потерь электроэнергии, ее экономии и удешевлению устройств электропередачи.

15. Электрическая цепь при параллельном соединении элементов с R, L и C

При анализе процессов в электрической цепи с параллельным соединением элементов, обладающих активным сопротивлением R, индуктивностью L и емкостью С, к которой приложено синусоидальное напряжение u Um sin t , воспользуемся комплексным методом. Для этого на электрической схеме цепи (Рис. П7.29, а) элементы с R, L и С заменяем соответствующими им комплексными сопротивлениями

Z R R , Z L j L jX L , Z С j 1С jXС .

Аналогично поступим с напряжением и токами.

Рис. П7.29. Схема электрической цепи при параллельном соединении элементов с R, L и C (а), векторная диаграмма токов (б) и треугольник токов (в)

Тогда, согласно закону Ома комплексные токи в ветвях

173

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

костная проводимости соответственно. Ток в неразветвленной части цепи в соответствии с первым законом Кирхгофа с учетом уравнений (П7.53)

Последнее уравнение также является записью закона Ома в комплексной форме.

Коэффициент Y в нем называют комплексной электрической проводимостью.

Из уравнения (П7.54) следует, что

Это параметр электрической цепи, равный отношению действующего значения тока в неразветвленной части цепи (или ветви) к действующему значению напряжения на зажимах цепи (или ветви), равный также корню квадратному из суммы квадратов активной и реактивной проводимостей;

— реактивная проводимость цепи, которая может принимать как положительные, так и отрицательные значения в зависимости от соот-

На основании уравнений (П7.53) и (П7.54) можно построить векторную диаграмму токов. При построении векторной диаграммы за начальный вектор удобно принять вектор напряжения U (Рис. П7.29, б). Векторы комплексных токов IR, IL, IC направляют с учетом их сдвига по фазе относительно напряжения. Ток I в неразветвленной части цепи находят в соот-

174

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

ветствии с уравнением (П7.54), как геометрическую сумму векторов, соответствующих токам в ветвях.

На рис. П7.29, в построен треугольник токов ОАВ, катеты которого равны активной Ia = GU и реактивной Ip = jBU составляющим тока I, что следует из (П7.54). Активная составляющая тока совпадает по фазе с напряжением, а реактивная составляющая сдвинута относительно напряжения на угол π/2. Действующие значения активной и реактивной составляющих равны Iа GU , I р BU IL IC . Если IL > IC, то Ip отстает по фа-

зе от напряжения на π/2 (см. рис. П7.29, в), а ток в неразветвленной части цепи I отстает по фазе от напряжения (φ > 0). Если IL < IC, то Ip опережает напряжение на π/2, а ток I на угол φ (φ < 0).

Из треугольника токов следуют соотношения для действующих значений токов. Зная параметры G, B и Y, можно построить треугольник проводимостей (рис. П7.30), из которого следуют соотношения, аналогичные соотношениям (П7.57)

Активная, реактивная и полная мощности

причем реактивная мощность отдельных ветвей QL BLU 2 и QС BСU 2 .

175

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

16. Соотношения между эквивалентными параметрами цепи при последовательном и параллельном соединении элементов

Большинство электроприемников переменного тока характеризуются как активной, так и реактивной мощностью. Рассмотрим активноиндуктивный приемник, в котором ток I отстает по фазе от напряжения U на угол φ. Векторная диаграмма напряжения и тока для такого приемника показана на Рис. П7.31.

Схема электрической цепи, эквивалентная данному электроприемнику, может состоять либо из последовательного соединения элементов с активным и реактивным сопротивлениями (Рис. П7.32, а), либо из параллельного соединения элементов с активной и реактивной проводимостью (Рис. П7.32, б). Обе эти схемы эквивалентны, если при одинаковом напряжении U комплексные токи в них равны. Согласно закону Ома в комплексной форме ток I в схеме с последовательным соединением элементов (см. рис. П7.32, а) может быть найден по уравнению (П7.35)

I UZ ,

а в схеме с параллельным соединением элементов (см. Рис. П7.32, б) — по уравнению (П7.55)

I YU .

176

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

Из условия равенства токов в обеих схемах при одном и том же напряжении U следует связь между эквивалентными комплексными сопротивлением Z и проводимостью Y:

Соотношения (П7.60) справедливы также и для полных сопротивления Z проводимости Y, причем не только для цепи в целом, но и для ее участков.

При расчете электрических цепей может оказаться целесообразной замена последовательного соединения активного и реактивного элементов схемы цепи параллельным их соединением или наоборот. Для этого надо знать соотношения между параметрами этих цепей.

Если необходимо заменить последовательное соединение элементов с комплексным сопротивлением Z R jX (рис. П7.32, а) параллельным соединением элементов с комплексной проводимостью Y G jB (Рис. П7.32, б), то для этого нужно воспользоваться соотношениями (П7.60):

При переходе от параллельного соединения элементов к последовательному соединению поступают аналогично, при этом связь между параметрами будет иметь вид:

В общем случае электрическую цепь или ее часть можно представлять эквивалентными схемами. Если в цепи выделить участок, имеющий два зажима, то его можно заменить эквивалентным двухполюсником.

Двухполюсник на схеме изображают в виде прямоугольника (Рис. П7.32, в), причем если двухполюсник активный (в участке цепи есть источники ЭДС), то его обозначают А, если пассивный (источников ЭДС нет) — П.

177

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

17. Параллельное соединение нескольких электроприемников

Рассмотрим электрическую схему цепи с параллельным соединением нескольких электроприемников (Рис. П7.33, а), параметры которых известны. Задача сводится к определению действующих значений токов в приемниках и в неразветвленной части цепи, сдвига фаз между током I и напряжением U на зажимах цепи, эквивалентного сопротивления (проводимости) цепи и др.

Поскольку параметры электроприемников известны, то известно и

ем U и током Ik в k-ом приемнике.

Действующие значения тока Ik и его активной и реактивной составляющих равны:

Ток в неразветвленной части цепи находят по первому закону Кирхгофа. При заданных условных направлениях комплексных токов в ветвях (см. рис. П7.33, а) ток I равен

электрическая проводимость цепи, а эквивалентные активная G, реактивная B и полная Y проводимости цепи соответственно равны:

178

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

лентные активная, реактивная и полная проводимости равны:

Здесь Z1 R12 X L21 , Z2 R22 XС2 2 — полные электрические со-

противления первого и второго приемников.

Комплексные активную Ia и реактивную Ip составляющие тока I в неразветвленной части цепи можно найти, пользуясь уравнением (П7.63), записав его следующим образом:

Действующие значения тока в неразветвленной части цепи и его активной и реактивной составляющих находят по соотношениям, аналогич-

179

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

Рис. П7.33. Электрическая цепь при параллельном соединении нескольких электроприемников: а) схема; б) векторная диаграмма полных токов; в) векторная диаграмма активных и реактивных составляющих токов

Активная и реактивная мощность цепи при параллельном соединении нескольких приемников:

После того, как найдены токи в приемниках и в неразветвленной части цепи и их активные и реактивные составляющие, можно построить векторные диаграммы токов (рис. П7.33, б, в).

Рис. П7.34. Схема электрической цепи при параллельном соединении нескольких элементов с проводимостями G и В

180

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

В заключение отметим, что замена комплексных сопротивлений Zk приемников эквивалентными им комплексными проводимостями Yk по существу означает замену одной расчетной схемы (рис. П7.33) другой эквивалентной ей расчетной схемой (рис. П7.34).

Обобщая полученные результаты, можно сделать следующие выво-

ды.

1.При параллельном соединении нескольких электроприемников эквивалентная комплексная проводимость цепи равна алгебраической сумме комплексных проводимостей всех электроприемников.

2.При определении эквивалентных активной и реактивной проводимостей цепи необходимо складывать отдельно активные и отдельно реактивные проводимости параллельных ветвей, причем при суммировании реактивные емкостные проводимости считают отрицательными.

3.Складывать алгебраически полные проводимости ветвей нельзя.

4.Активная и реактивная составляющие тока в неразветвленной части цепи равны соответственно алгебраическим суммам активных и реактивных составляющих всех параллельно включенных приемников, при этом реактивные емкостные составляющие токов берут со знаком минус.

5.Активная P и реактивная Q мощности цепи равны соответственно алгебраическим суммам активных Pk и реактивных Qk мощностей всех параллельно включенных приемников, что является подтверждением закона

осохранении энергии.

18.Резонанс в электрических цепях синусоидального тока

Резонанс явление в электрической цепи (или на ее участке), содержащей индуктивные и емкостные элементы (хотя бы по одному), возникающее в случае, когда реактивное сопротивление или реактивная проводимость этой цепи (или ее участка) равны нулю.

При резонансе в цепи (или на ее участке) напряжение и ток совпадают по фазе, а реактивная мощность равна нулю.

Представим электрическую цепь в виде пассивного двухполюсника

(рис. П7.35).

Согласно закону Ома в комплексной форме эквивалентное комплексное сопротивление цепи

181

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

Различают резонанс напряжений при последовательном и резонанс токов при параллельном соединении R, L и C.

18.1. Резонанс напряжений

Из всех возможных соотношений между индуктивным XL и емкостным ХC сопротивлениями особый интерес представляет случай, когда эти сопротивления равны, т. е. XL = ХC. В этом случае реактивное сопротивление цепи Х = XL ХC = 0 и полное сопротивление Z = R минимально. Тогда ток в цепи I = U/R и при U = const, R = const значение его максимально.

Напряжения на индуктивном и емкостном элементах в комплексной форме UL = UC, а по модулю UL = XLI = XCI = UC. Следовательно,

UL X L I XRL U ; UC XC I XRC U .

Таким образом, напряжения на индуктивном и емкостном элементах могут превышать напряжение сети в XL/R раз, если XL R. Сдвиг по фазе

182