Методичка элетротехника 2013

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

arg(A) — главное значение аргумента комплексного числа, причем

Угол отсчитывают от положительного направления оси вещественных (ось +l). Положительный угол отсчитывают в направлении, противоположном движению часовой стрелки, отрицательный в направлении движения часовой стрелки.

Множитель e j называют также оператором поворота. Умножение любого комплексного числа на e j приводит к изменению его аргумента на угол и повороту вектора, соответствующего этому числу, на тот же угол в положительном или отрицательном направлении относительно положи-

ние комплексного числа А на j приводит к увеличению его аргумента на

+ 2 и повороту вектора, изображающего комплексное число А, на угол + 2

в положительном направлении, а умножение на ( j) к уменьшению ар-

направлении (см. рис. П7.14).

Два комплексных числа, имеющие равные модули и равные, но противоположные по знаку аргументы, называют сопряженными. Для ком-

143

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

Рассмотрим синусоидальный ток i Im sin t i и комплексное

число

Ime j t i Ime j i e j t I me j t

модуль и аргумент которого соответственно равны амплитуде и фазе синусоидального тока.

С одной стороны, данное комплексное число представляет аналитическую запись вектора с модулем Im, вращающегося в комплексной плоскости с постоянной угловой скоростью , равной угловой частоте синусоидального тока, в направлении, противоположном движению часовой стрелки (рис. П7.15).

C другой стороны, данное комплексное число, согласно формуле Эйлера, можно представить в тригонометрической форме

Ime j t j Im cos t j jIm sin t j .

Сравнивая последнее с формулой для тока i Im sin t j , видно,

что

i Jm(Ime j t j ) Jm(I me j t ) ,

т.е. синусоидальный ток равен проекции на ось мнимых вращающегося вектора, изображаемого комплексным числом.

Таким образом, синусоидальному току i (оригиналу) может быть поставлено в соответствие комплексное число (изображение) I me j t . Условная запись такого преобразования имеет вид

144

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

Аналогичные преобразования могут быть выполнены для синусоидальных напряжений и ЭДС

Над комплексными числами, изображающими синусоидальные ЭДС, напряжения и токи, можно производить все алгебраические действия. При сложении и вычитании комплексных чисел удобнее пользоваться алгебраической формой записи, а при умножении, делении, возведении в степень и извлечение корней показательной формой записи в соответствии с уравнениями (П7.12).

Комплексное число

I m Ime j i Im cos i jIm sin i Im' jIm" , (П7.15)

модуль и аргумент, которого соответственно равны амплитуде и начальной фазе синусоидального тока называют комплексной амплитудой тока.

В технической литературе по электротехническим дисциплинам для обозначения комплексных токов, напряжений и ЭДС часто используют также такие символы Im , Um , Em , I, U, E , равнозначные символам

Im , Um , Em , I , U, E .

Комплексным действующим током (комплексным током) называют комплексное число

Таким образом, при изображении синусоидальных величин комплексными числами в показательной форме записи в качестве модуля следует брать амплитуду (или действующее значение) синусоидальной величины, а в качестве аргумента ее начальную фазу. Если комплексным числом изображают мгновенное значение синусоидальной величины, то модулем его является амплитуда синусоидальной величины, а аргументомее фаза, например, для тока таким комплексным числом будет Ime

Режим работы электрической цепи переменного тока, как правило, описывается системой дифференциальных уравнений для мгновенных зна-

145

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

чений синусоидальных токов, напряжений и ЭДС, членами которых могут быть производные любого порядка и интегралы от синусоидальных функций времени. Поскольку производные любого порядка и интегралы от синусоидальных функций также являются синусоидальными функциями, то им, как и синусоидальным токам, напряжениям и ЭДС, можно поставить в соответствие комплексные числа, являющиеся изображениями этих величин. Так, для синусоидального тока, для которого имеем i I me j t , получим

Таким образом, производной от синусоидального тока можно поставить в соответствие комплексное число, изображающее этот синусоидальный ток, умноженное на j , а интегралу от синусоидального тока комплексное число, изображающее синусоидальный ток, деленное на j .

Аналогичные преобразования могут быть выполнены и для синусоидальных напряжений и ЭДС.

Комплексный метод расчета электрических цепей синусоидального тока применим только при установившихся режимах работы цепей и основан на использовании преобразований (П7.14-П7.16). Сущность его заключается в том, что, используя указанные преобразования, можно от системы дифференциальных уравнений для действительных функций времени перейти к системе алгебраических уравнений с комплексными токами, напряжениями и ЭДС. Переход от дифференциальных уравнений к алгебраическим уравнениям с комплексными числами осуществляют заменой в них мгновенных значений тока i, напряжения u и ЭДС e комплексными числами в соответствии с (П7.14) и (П7.14, а), а производных и интегралов от них комплексными числами в соответствии с (П7.16).

Так как комплексные амплитуды тока, напряжения и ЭДС и комплексные действующие токи, напряжения и ЭДС можно изображать векторами на комплексной плоскости, то расчет электрических цепей полезно сопровождать построением векторных диаграмм, под которыми понимают совокупность векторов на комплексной плоскости, изображающих синусоидально изменяющиеся функции времени одной и той же частоты и построенных с соблюдением правильной их ориентации относительно друг друга по фазе, что в ряде случаев позволяет выявить ошибки расчета. На

146

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

векторных диаграммах принято изображать векторы комплексных токов, напряжений и ЭДС или комплексные амплитуды этих величин для момента времени t = 0.

В заключение отметим, что комплексный метод будет использоваться нами довольно часто при изложении большинства разделов учебника. Однако читатель должен хорошо понимать, что в отличие от реальных физических величин, таких как ток, напряжение, ЭДС, комплексные ток, напряжение. ЭДС и, следовательно, комплексные сопротивление, проводимость и др. не являются физическими величинами и поэтому не имеют никакого физического смысла. Это всего лишь средство, позволяющее существенно упростить математический анализ процессов в электрических цепях и электротехнических устройствах переменного тока.

7. Законы Кирхгофа для электрической цепи синусоидального тока

Так как синусоидальные величины (ЭДС, напряжение, ток) характеризуются мгновенными, максимальными и действующими значениями, то для каждого из них существуют свои формулировки законов Кирхгофа.

Для мгновенных значений законы Кирхгофа справедливы в алгебраической форме.

Первый закон состоит в том, что алгебраическая сумма мгновенных значений токов в узле равна нулю:

n

ik 0 ,

k 1

где n — количество ветвей, подключенных к узлу.

По второму закону алгебраическая сумма ЭДС в контуре равна алгебраической сумме падений напряжений в этом контуре:

где n — количество источников ЭДС в контуре, а m — количество пассивных элементов в этом же контуре.

Для максимальных и действующих значений законы Кирхгофа спра-

ведливы только в векторной или комплексной форме.

147

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

Согласно первому закону, сумма комплексных токов в узле равна ну-

лю:

k 1

По второму закону сумма комплексных ЭДС в контуре равна сумме комплексных падений напряжения в этом контуре:

Второй закон Кирхгофа может быть сформулирован иначе: сумма мгновенных или комплексных значений напряжений на всех элементах контура, включая источники ЭДС, равна нулю:

При составлении уравнений по законам Кирхгофа в цепях синусоидального тока необходимо указать условное положительное направление ЭДС, задать условное положительное направление токов в ветвях и положительное направление падений напряжений на участках цепи, совпадающее с положительным направлением тока. При записи уравнений по первому закону Кирхгофа положительными принято считать токи, условные положительные направления которых направлены к узлу, а отрицательные

– направленные от узла. Знак слагаемых в уравнениях, записываемых по второму закону Кирхгофа, зависит от направления обхода контура: слагаемые считают положительными, если их условные направления совпадают с направлением обхода контура, и отрицательными, если они противоположны. Это относится как к мгновенным значениям синусоидальных величин, так и к комплексным.

8. Электрическая цепь с резистором

Электрический ток проводимости в металлах представляет собой направленное движение свободных электронов, скорость и направление которого определяются значением и полярностью приложенного к проводнику напряжения. При движении электроны сталкиваются с атомами проводящего вещества и кинетическая энергия электронов, запасенная ими при ускорении, превращается в тепловую энергию, затрачиваемую на нагрев проводника и рассеиваемую в окружающую среду. Это необратимый активный процесс преобразования электрической энергии, который

148

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

количественно определяется сопротивлением R. Потому его называют ак-

тивным сопротивлением.

Активным сопротивлением обладают практически все материалы, проводящие электрический ток (металлы, уголь, электролиты). Таким образом, все провода, обмотки, реостаты и другие элементы цепи обладают активным сопротивлением. Элементы электрической цепи, обладающие только активным сопротивлением R, называют резисторами.

При рассмотрении электрических цепей постоянного тока сопротивление R называли просто сопротивлением. В теории цепей синусоидального тока его называют активным сопротивлением. С одной стороны, это вызвано тем, что необходимо привести название этого сопротивления в соответствие с названиями других по характеру сопротивлений (индуктивное, емкостное, реактивное, полное), характеризующих цепь синусоидального тока, с другой тем, что один и тот же проводник оказывает большее сопротивление движению электронов при синусоидальном токе, чем при постоянном (это будет показано далее), т. е. активное сопротивление резистора больше его сопротивления постоянному току.

Пусть к зажимам цепи с активным сопротивлением R (Рис. П7.16, а) приложено напряжение источника питания и = Um sin t. Для простоты принимаем, что начальная фаза напряжения равна нулю, так как для установившегося режима начальная фаза не имеет никакого значения.

В соответствии со вторым законом Кирхгофа для мгновенных значений напряжения имеем и = Ri. Решая это уравнение относительно тока i и заменяя и на Um sin t, получаем

I = U/R, т. е. действующие значения синусоидальных напряжений и тока связаны между собой законом Ома так же, как постоянные напряжение и ток.

149

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

Рис. П7.16. Электрическая цепь с активным сопротивлением R:

асхема; б изменение мгновенных значений тока

инапряжения; в векторная диаграмма

На векторной диаграмме (Рис. П7.16, в) комплексные напряжение U и ток I в цепи представлены векторами на комплексной плоскости. Начала векторов совмещены с началом координат, длины векторов в соответствующем масштабе равны действующим значениям напряжения и тока. За начальный вектор принимаем вектор напряжения и совмещаем его с положительным направлением оси вещественных. Для цепи с активным сопротивлением векторы напряжения U и тока I совпадают по направлению.

9. Электрическая цепь с индуктивным элементом

Индуктивностью L теоретически обладают все проводники с током. Но в некоторых случаях эта индуктивность так мала, что ею вполне можно пренебречь. Значительна индуктивность у обмоток или катушек, состоящих из большого числа витков провода. Индуктивность возрастает, если созданный током обмотки магнитный поток замыкается по пути с малым магнитным сопротивлением (например, по стальному сердечнику), вследствие чего магнитный поток увеличивается.

Рассмотрим идеальную катушку с постоянной индуктивностью L, т. е. такую катушку, активное сопротивление которой равно нулю.

Пусть к цепи с индуктивностью L (Рис. П7.17, а) приложено синусоидальное напряжение и = Um sin t. Под действием этого напряжения в цепи индуктивной катушки возникает ток i. Этот ток создает магнитный

150

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

поток Ф, который согласно закону электромагнитной индукции индуцирует в катушке ЭДС самоиндукции

где w — число витков катушки.

Знак минус согласно принципу электромагнитной инерции, сформулированному Ленцем, указывает на то, что ЭДС самоиндукции еL всегда имеет такое направление, при котором она препятствует изменению магнитного потока или тока в цепи.

Рис. П7.17. Электрическая цепь с индуктивностью L:

a схема; б изменение ЭДС самоиндукции, напряжения и тока; в векторная диаграмма

На рис. П7.17, а показаны условные положительные направления тока i в цепи и падения напряжения иL на элементе с индуктивностью L. Условное положительное направление ЭДС еL выбирают из условия, что ее действительное направление в любой момент времени противоположно направлению иL(иL = еL).

По второму закону Кирхгофа (П7.18) имеем и иL = 0, а с учетом того, что иL = еL, получаем

Чтобы получить это уравнение на основании (П7.17), условное положительное направление еL следует всегда принимать совпадающим с положительным направлением тока.

151

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

Так как и = Um sin t, а еL определяется из (П7.21), уравнение (П7.22) принимает вид

Um sin t L dtdi 0 или dtdi ULm sin t .

Решая это уравнение, получим выражение для тока в цепи (так как до включения цепи при t = 0 ток в цепи отсутствовал, то постоянная интегрирования равна нулю):

нусоидальному закону и отстает по фазе от напряжения на угол /2

(Рис. П7.17, б).

В формуле (П7.23) знаменатель L в правой части имеет размер-

жению на элементе с индуктивностью, то, используя формулу (П7.25), имеем

Видно, что индуктивное сопротивление является коэффициентом пропорциональности между током и ЭДС самоиндукции.

152