Методичка элетротехника 2013

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

Таблица П7.1 Свойства элементов схем замещения электрических цепей переменного тока

163

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

12. Треугольник напряжений и сопротивлений

Если электрическая цепь состоит из последовательно соединенных элементов с активным и реактивным сопротивлениями, то векторная диаграмма напряжений имеет вид прямоугольного треугольника (см. Рис. П7.20, в; П7.21, б; П7.22, б). Гипотенуза этого треугольника равна полному напряжению U на зажимах цепи, а катеты треугольника — активной Uа = RI и реактивной Uр составляющим этого напряжения, причем

Вид треугольника напряжений зависит от соотношения между XL и XC (см. Рис. П7.21, б и П7.22, б).

После деления всех сторон треугольника напряжений на ток I получим треугольник сопротивлений, подобный треугольнику напряжений

(Рис. П7.23):

Из треугольника сопротивлений можно получить соотношения, аналогичные (П7.42) и (П7.43):

164

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

13. Последовательное соединение нескольких электроприемников

Рассмотрим электрическую схему цепи с последовательным соединением нескольких приемников электрической энергии (электроприемников), каждый из которых характеризуется как активным, так и реактивным сопротивлением (Рис. П7.24), а значит, известны их комплексные сопротивления

Z1 R1 , Z 2 R2 jX L2 , Z 3 R3 jX L3 , Z 4 R4 jXС 4

и их полные сопротивления

Задача сводится к определению действующих значений тока I в цепи и напряжений на элементах, а также сдвига фаз между током и напряжением на зажимах цепи.

Рис. П7.24. Схема электрической цепи при последовательном соединении нескольких электроприемников с сопротивлением Z (а) и ее векторная диаграмма (б)

На основании второго закона Кирхгофа и закона Ома (П7.34) в комплексной форме можем записать

U U1 U 2 U 3 U 4 Z1 I Z 2 I Z 3 I Z 4 I Z I ,

где Z Z1 Z 2 Z 3 Z 4 эквивалентное комплексное сопротивление цепи.

Следовательно, при последовательном соединении приемников эквивалентное комплексное сопротивление Z цепи равно алгебраической сумме комплексных сопротивлений всех последовательно включенных электроприемников, то есть

165

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

Это означает, что при последовательном соединении приемников эквивалентные активные R и реактивные X сопротивления цепи равны соответственно алгебраической сумме активных и реактивных сопротивлений всех элементов цепи, причем при суммировании реактивных сопротивлений сопротивления емкостных элементов считают отрицательными.

Так, для схемы, представленной на Рис. П7.24, а

R R1 R2 R3 R4 , X X L2 X L3 XC 4 .

После того, как найдено эквивалентное комплексное сопротивление, определяют комплексный ток в цепи согласно (П7.35), его действующее значение и согласно (П7.40) — сдвиг фаз между током и напряжением на зажимах цепи:

i ( u ) — аргумент комплексного тока, равный его начальной фазе. Если принять начальную фазу напряжения на зажимах цепи равной нулю

(Ψu = 0), то комплексный ток в цепи будет равен I Ie j .

Комплексные Uk и действующие Uk значения напряжений на отдельных приемниках находят по закону Ома. Например, для напряжения на приемнике с сопротивлением Z2 имеем

U 2 Z 2 I , U2 Z2 I .

Аналогично определяют напряжения на других электроприемниках. После определения тока в цепи можно построить векторную диа-

грамму напряжений и тока. За начальный вектор выбирают вектор тока I. Затем все векторы падений напряжения на элементах с активным сопротивлением (UR) откладывают совпадающими по фазе с током; векторы падений напряжения на элементах с индуктивным сопротивлением (UL) — опережающими вектор тока на угол /2, а вектор падения напряжения на элементе с емкостным сопротивлением (UC) — отстающим от вектора тока на угол /2. Одновременно производят сложение векторов падений напряжения (Рис. П7.24, б).

166

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

Прямоугольный треугольник apf является треугольником напряжений всей цепи, причем ар = Ua; pf = Up. Действующее значение активной составляющей напряжения на зажимах цепи

Ua UR1 UR2 UR3 UR4 (R1 R2 R3 R4 )I RI .

Реактивная составляющая напряжения

Up = UL2 + UL3 UC4 = (XL2 + XL3 XC4)I = XI.

По векторной диаграмме можно определить напряжение между любыми точками цепи. Например, для определения напряжения между точками b и d необходимо измерить расстояние между этими точками на векторной диаграмме и умножить на масштаб напряжений (В/мм) и т. д. В связи с этим векторную диаграмму иногда называют топографической.

14. Мощность цепи синусоидального тока

Мгновенное значение мощности цепи синусоидального тока равно произведению мгновенных значений напряжения и тока:

р = ui.

Если к цепи приложено напряжение u = Um sin t, то в общем случае

ток в цепи i = Im sin ( t ) (Рис. П7.25, а). Следовательно,

р= ui = Um Im sin t sin ( t ) = UI [cos cos (2 t )]. (П7.46)

Таким образом, мгновенное значение мощности имеет две составля-

ющие: постоянную UI cos , не изменяющуюся во времени, и переменную IU cos (2 t ), изменяющуюся периодически с частотой 2 . Вследствие этого мгновенное значение мощности также изменяется с двойной частотой (Рис. П7.25, б). При этом мощность положительна, если напряжение и ток совпадают по направлению, и отрицательна, если напряжение и ток имеют разные знаки. Когда мощность положительна, тогда электрическая энергия передается от источника к приемнику, и наоборот.

Для количественной оценки электроэнергетических процессов удобнее использовать среднее значение мощности Pсp, которое можно найти,

T

вычислив работу, совершаемую за один период: pdt PсрТ , откуда

0

1 T

Pср Т 0 pdt .

167

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

т. е. мгновенное значение мощности имеет только переменную составляющую (Рис. П7.27, б).

В моменты времени, когда ток и напряжение имеют одинаковые знаки (рис. П7.27, а), мгновенная мощность положительна (рис. П7.27, б) и энергия передается от источника питания к приемнику (индуктивной катушке) и запасается в его магнитном поле. В моменты времени, когда ток и напряжение противоположны по знаку, мощность отрицательна и запасенная в магнитном поле катушки энергия возвращается источнику питания.

Таким образом, в течение одного периода электроэнергия дважды поступает от источника в катушку и обратно. При этом вся передаваемая энергия запасается в магнитном поле катушки и затем вся возвращается источнику. Такая энергия обмена между источником и приемником, которая не преобразуется в другие виды энергии, называется реактивной. Интенсивность обмена электроэнергией характеризуется реактивной мощностью QL, равной амплитуде мгновенного значения мощности (П7.48), т. е.

QL = UI.

Реактивную мощность измеряют в вольт-амперах реактивных (ВАр), киловольт-амперах реактивных (кВАр) и т. д.

169

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

Напряжение на элементе с индуктивностью U = UL = XLI, поэтому реактивную мощность можно также определить по формулам

QL UL I X L I 2 UL2 BLUL2 , X L

где BL 1 — индуктивная проводимость.

X L

Если в цепь включен конденсатор с емкостью С, то = /2 (Рис. П7.28, а) и мгновенное значение мощности

p = UI sin 2 t,

которое отличается от (П7.48) только знаком. Изменение мощности для этой цепи показано на Рис. П7.28, б.

В цепи с емкостью также происходит обмен электроэнергией между источником питания и конденсатором. При передаче энергии от источника питания в течение четверти периода энергия запасается в электрическом поле конденсатора, а в течение следующей четверти периода энергия электрического поля освобождается и возвращается источнику. Электроэнергетический процесс в це-

Рис. П7.28. Изменение напряжения

пи характеризуется только реактив-

и тока (а) и мощности (б)

ной мощностью:

где BС 1 XС — емкостная проводимость.

В общем случае, когда электрическая цепь состоит из элементов с активным R и реактивным Х сопротивлениями, сдвиг по фазе между напряжением и током в цепи = 0 /2 (см. Рис. П7.25, а), а мгновенное значение мощности (см. Рис. П7.25, б) описывается уравнением (П7.46). Заштрихованная площадь, ограниченная положительным значением мощности и осью абсцисс, больше площади, ограниченной отрицательным

170

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

значением мощности и осью абсцисс. Это означает, что в итоге часть электроэнергии передается от источника приемнику и преобразуется в нем в другие виды энергии. Количественно процесс преобразования электроэнергии оценивается активной мощностью (П7.47). Амплитуду UI переменной составляющей мощности называют полной мощностью и обозначают S. Полную мощность выражают в вольт-амперах (ВА), киловольт-

То, что мгновенные значения мощности в некоторые промежутки времени принимают отрицательные значения, свидетельствует об обмене электроэнергией между источником питания и приемником электроэнергии. Обмен энергией количественно оценивают реактивной мощностью Q = UpI. Так как в общем случае реактивная составляющая напряжения

причем в цепи с индуктивностью мощность QL > 0, а в цепи с емкостью

QС < 0.

Реактивная мощность цепи может быть вычислена как

где B X1 — реактивная проводимость цепи.

Если цепь включает элементы и с индуктивным, и с емкостным сопротивлениями, то ее реактивное сопротивление Х = XL ХC, а

Q = (XL ХC) I2 = XLI2 XCI2 = QL QC.

Таким образом, реактивная мощность цепи равна разности реактивной индуктивной и реактивной емкостной мощностей. Реактивная мощность положительна, если QL > QC, и отрицательна, если QC > QL.

Соотношение между полной, активной и реактивной мощностями можно получить, воспользовавшись формулами (П7.47), (П7.49) и (П7.50):

P2 + Q2 = (UI)2 (cos2 + sin2 ) = (UI)2 = S2,

или S P2 Q2 .

171

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

Следовательно, полная мощность равна корню квадратному из суммы квадратов активной и реактивной мощностей.

Кроме того,

Рассматривая выражения (П7.51) и (П7.52) и треугольник напряжений (см. Рис. П7.21, б), можно сделать вывод, что активная мощность определяется произведением составляющих напряжения и тока, совпадающих по фазе, а реактивная мощность — произведением составляющих напряжения и тока, находящихся в квадратуре (сдвинутых по фазе на

/2).

Мощность цепи синусоидального тока в комплексной форме равна произведению комплексного напряжения на сопряженный комплексный ток:

S U I Ue j u Ie j i UIe j Se j ,

*

где I — сопряженный комплексный ток. Используя формулу Эйлера, получим

S UI (cos j sin ) P jQ .

Таким образом, вещественная составляющая комплексной мощности S является активной, а мнимая составляющая реактивной мощно-

стью цепи. Если в цепи преобладает индуктивность ( > 0), то

S P jQ P jQL ,

а если преобладает емкость ( < 0), то

S P jQ P jQС .

Вформуле (П7.47) косинус угла φ, равного сдвигу фаз между током

инапряжением, называют коэффициентом мощности:

cos UIP РS .

Он показывает, какая доля полной мощности составляет активную мощность или какая доля всей электроэнергии преобразуется в другие виды энергии.

Когда cos = 1, т. е. когда Z = R, активная мощность равна полной мощности.

172