Методичка элетротехника 2013

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

Как было показано в параграфе 6, в общем случае напряжению u и

кратив все его члены на 2е j t , получим уравнения связи для комплексных напряжения UL и тока I, называемые законом Ома в комплексной форме

где ВL = 1/XL= 1/ L — реактивная индуктивная проводимость.

Если принять начальную фазу напряжения u = 0, то U = U и комплексный ток с учетом уравнений (П7.25) и (П7.27)

На векторной диаграмме (Рис. П7.17, в) вектор напряжения, имеющий начальную фазу, равную нулю, отложен по вещественной оси, а вектор тока, имеющий начальную фазу i = /2, в отрицательном направлении мнимой оси. Сдвиг фаз между напряжением и током в цепи с индуктивностью = /2.

10. Электрическая цепь с емкостным элементом

Элементом электрической цепи, обладающим значительной емкостью, является конденсатор. Конструктивно конденсатор представляет собой две пластины с большой поверхностью, выполненные из проводящего материала и разделенные диэлектриком. Емкость С конденсатора определяет тот электрический заряд, который накапливается на пластинах при разности потенциалов между ними в 1 В.

153

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

Хотя пластины конденсатора и разделены диэлектриком, при переменном напряжении ток в цепи с конденсатором существует. Это связано с тем, что синусоидальное напряжение непрерывно меняется по значению и направлению, а следовательно, и заряд на пластинах конденсатора непрерывно меняется. Это изменение заряда и связанное с ним движение электронов и есть электрический ток в цепи.

Емкостью обладают любые два проводника, расположенные недалеко друг от друга. Но при малой поверхности их емкость невелика и ею обычно пренебрегают.

Рис. П7.18. Электрическая цепь с емкостью С:

а схема; б изменение напряжения и тока; в векторная диаграмма

Рассмотрим электрическую цепь, состоящую из источника питания и конденсатора емкостью С (Рис. П7.18, а). Будем считать, что конденсатор имеет идеальный диэлектрик, т. е. его активное сопротивление равно нулю. К цепи с конденсатором подведено синусоидальное напряжение и = Um sin t, под действием которого в цепи возникает ток i и на каждой пластине конденсатора скапливается заряд Q = СиC, где иC — падение напряжения на конденсаторе.

По второму закону Кирхгофа для данной цепи имеем и = иC. Тогда заряд на конденсаторе

Q = Cu = CUm sin t.

Ток в цепи, представляющий собой изменение заряда во времени, i dQdt CUm cos t CUm sin( t 2) ,

или

154

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

Из формулы (П7.28) видно, что ток в цепи с емкостью является синусоидальным и опережает напряжение по фазе на угол /2 (Рис. П7.18, б).

Рассмотрим процесс возникновения тока в цепи с емкостью подробнее. Под действием приложенного к конденсатору напряжения происходит поляризация диэлектрика, т. е. смещение заряженных частиц, входящих в состав молекул его вещества, в противоположных направлениях. Электрически нейтральные при отсутствии внешнего электрического поля молекулы диэлектрика превращаются в электрические диполи, т. е. системы двух противоположных по знаку точечных зарядов. В процессе поляризации в диэлектрике происходит движение элементарных частиц в пределах моле-

кулы, образующее ток поляризации или ток смещения.

На Рис. П7.19, б, в показаны действительные мгновенные значения потенциалов точек а и d. В первую четверть периода (0 < t < T/4) потенциал точки а (Рис. П7.19, б) положительный и увеличивается от 0 до +Um. Поляризация диэлектрика и ток в цепи пропорциональны скорости изменения потенциала точки а. Ток в цепи направлен от точки а, имеющей в данный промежуток времени больший потенциал, и совпадает по направлению с напряжением. В момент времени t = T/4 потенциал точки а достигает значения +Uт и в течение t 0 не изменяется, вследствие чего ток i = 0 (Рис. П7.19, а).

Во вторую четверть периода (T/4 < t < T/2) потенциал точки а остается положительным, но уменьшается от +Uт до нуля. Пластина b конденсатора, заряженная до потенциала +Uт, оказывается в таких условиях, когда ее потенциал больше потенциала точки а. Направление тока изменяется на противоположное (Рис. П7.19, в), т. е. ток становится отрицательным. Наибольшая разность потенциалов имеет место при t = Т/2. В этот момент времени ток достигает отрицательного максимума. Дальше процесс повторяется.

155

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

Рис. П7.19. Определение фазы тока в цепи с емкостью:

аизменение напряжения и тока;

бнаправление тока в первую четверть периода;

внаправление тока во вторую четверть периода

Величину 1/( С) в знаменателе правой части (П7.29), имеющую размерность сопротивления, обозначают ХС и называют емкостным сопро-

тивлением:

Емкостное сопротивление обратно пропорционально частоте и емкости конденсатора.

Таким образом, Im = Um/XC.

Поделив обе части этого уравнения на 2 , получим выражение закона Ома для действующих значений тока и напряжения:

I = U/XC.

Уравнения связи для комплексных напряжения UC и тока I в конденсаторе имеют вид

Векторная диаграмма комплексных значений напряжения и тока представлена на Рис. П7.18, в.

156

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

11. Электрическая цепь при последовательном соединении элементов c R, L и C. Закон Ома в комплексной форме

Схеме электрической цепи, изображенной на Рис. П7.20, а, может соответствовать цепь последовательно соединенных индуктивной катушки с активным сопротивлением R и индуктивностью L и конденсатора с емкостью С. Активное сопротивление может также соответствовать сопротивлению какого-либо резистора. Во всяком случае, R, L и С — это параметры электрической цепи, причем активное сопротивление R характеризует активный (необратимый) процесс преобразования электрической энергии в другие виды энергии, а индуктивность L и емкость С — обратимый процесс преобразования энергии электромагнитного поля.

Под действием напряжения u = Um sin t источника питания в цепи возникает ток i. Ток создает падения напряжения на элементах цепи:

иR = Ri — на элементе с активным сопротивлением; uL eL L dtdi — на элементе с индуктивностью;

UC QC C1 idt — на элементе с емкостью.

При заданных параметрах элементов R, L и С задача в конечном итоге сводится к определению действующих значений тока в цепи, напряжений на ее элементах и сдвига фаз φ между током и напряжением на зажимах цепи с тем, чтобы иметь возможность проводить количественный анализ процессов в цепи.

Рис. П7.20. Электрическая цепь при последовательном соединении элементов с R, L и С: a схема; б изменение напряжения и тока; в векторная диаграмма напряжений и тока

157

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

По второму закону Кирхгофа для данной цепи с учетом уравнений связи можно написать

в результате решения, которого найдем i(t).

Полным решением линейного дифференциального уравнения (П7.31) с постоянными коэффициентами является сумма частного решения этого уравнения и общего решения однородного дифференциального уравнения

Уравнение (П7.32) записано по второму закону Кирхгофа для цепи с последовательным соединением элементов R, L и С, когда напряжение источника питания равно нулю, т. е. когда электрическая цепь замкнута накоротко и электрическая энергия извне в цепь не поступает. В этих условиях ток в цепи может существовать только за счет запасов энергии в магнитном поле катушки или в электрическом поле конденсатора. При наличии тока в элементе с сопротивлением R происходит преобразование электроэнергии в тепловую и рассеяние ее в окружающую среду. Поэтому через некоторое время запасы электроэнергии будут израсходованы. Иными словами, ток, найденный в результате решения уравнения (П7.32), через некоторое время будет равен нулю.

Время, в течение которого существует этот ток, является временем переходного процесса в цепи и обычно исчисляется долями секунды.

Так как на данном этапе нас интересует только установившийся, стабильный, режим цепи, существующий сколь угодно долго, то общего решения уравнения (П7.31) искать не будем.

Найдем частное решение уравнения (П7.31), т. е. ток установившегося режима. Так как правая часть этого уравнения — синусоидальная функция, то и частное решение следует искать в виде синусоидальной функции

i = Im sin ( t ). (П7.33)

Функция i(t) полностью определена, если известны амплитуда тока Iт и сдвиг фаз между напряжением и током. Найдем эти величины.

158

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

Как было показано ранее, напряжение и = Um sin t изображается комплексным числом U me j t ; ток i = Im sin ( t ) — комплексным числом I me j t ; производная di/dt — комплексным числом j I me j t ; интеграл

а разделив обе части уравнения (П7.34,а) на 2 , получим уравнение для комплексных действующих значений напряжения U и тока I

Выражения (П7.34, а и б) и (П7.35) являются записью закона Ома в комплексной форме. Коэффициент Z в этих формулах называют комплекс-

ным электрическим сопротивлением.

Из (П7.34,а) и (П7.34,б) следует, что

где R Re Z — вещественная составляющая комплексного сопротивления Z, равная активному сопротивлению цепи; X X L XC Jm Z —

мнимая составляющая комплексного сопротивления Z, называемая реактивным сопротивлением цепи, причем реактивное сопротивление цепи равно алгебраической разности индуктивного и емкостного сопротивле-

159

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

ний. Реактивное сопротивление положительно, если XL>XC, и отрицатель-

но, если XL<XC; Z — полное сопротивление цепи, причем

Из сказанного следует, что под комплексным электрическим сопротивлением Z цепи понимают комплексную величину, равную отношению комплексного напряжения на зажимах цепи к комплексному току в этой цепи. Модуль комплексного сопротивления равен полному электрическому сопротивлению цепи, а его аргумент сдвигу фаз между напряжением и током в этой цепи.

Полное электрическое сопротивление Z — это параметр электрической цепи. Оно равно отношению действующего значения напряжения на зажимах электрической цепи к действующему значению тока в этой цепи, а также равно корню квадратному из суммы квадратов активного и реактивного сопротивлений, взятому с положительным знаком. Сказанное в равной мере относится и к участкам цепи и к ее отдельным элементам.

Так, для цепи с резистором R, индуктивностью L или емкостью C комплексные сопротивления равны:

Z R UIR R ; Z L UIL j L jX L ; Z C UIC j 1C jXC ,

а комплексные напряжения на этих элементах:

Таким образом, определив комплексный ток I и напряжения на элементах цепи, можно найти их действующие значения

которое следует из уравнений (П7.36) и (П7.37), то можно определить сдвиг фаз

160

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

Для определения функции i(t) в соответствии с уравнением (П7.33) амплитудное значение тока находят из соотношения

а сдвиг фаз φ определяют по уравнению (П7.40), из которого видно, что значение угла φ зависит от соотношения между реактивным X и активным R сопротивлениями. Чем больше реактивное сопротивление по сравнению с активным, тем больше угол φ. Знак угла φ ηависит от соотношения между индуктивным и емкостным сопротивлениями. Если XL > XC, то угол положительный и ток можно определять по формуле (П7.33), откуда видно, что ток отстает по фазе от напряжения на угол . Если ХL < ХC, то уголотрицательный и ток i = Im sin ( t + ) т. е. опережает по фазе напряжение на угол .

На Рис. П7.20, б показано, как изменяются напряжение и ток в цепи, представленной на Рис. П7.20, а, при условии ХL > ХC.

Векторную диаграмму строят на основании уравнений (П7.39) с учетом того, что комплексное напряжение U на зажимах цепи согласно второму закону Кирхгофа в комплексной форме равно U U R U L U C .

При построении векторной диаграммы (Рис. П7.20, в) в качестве начального удобно выбрать вектор тока, так как при последовательном соединении ток во всех элементах один и тот же. Как было условлено, начальный вектор совмещаем с положительным направлением вещественной оси (здесь и далее оси обозначать не будем).

Вектор UR на участке с активным сопротивлением совпадает по фазе с вектором I, и на векторной диаграмме его проводим в направлении вектора тока. Падение напряжения UL на участке c индуктивностью опережает ток по фазе на угол /2, причем поворачивать вектор надо против направления вращения часовой стрелки по отношению к вектору I. Падение напряжения UC на участке с емкостью отстает от тока на угол /2, причем вектор UС следует повернуть на угол 90° по направлению вращения часовой стрелки по отношению к вектору I.

Вектор комплексного напряжения U находят как геометрическую сумму векторов комплексных напряжений UR, UL и UC. Для этого к концу вектора UR пристраиваем вектор UL путем параллельного переноса, а к концу вектора UL пристраиваем вектор UC. Вектор полного напряжения U

161

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

соединяет начало координат с концом вектора UC (последнего слагаемого вектора).

Поскольку векторная диаграмма построена для случая, когда ХL > ХC (следовательно, и UL > UC), ток в цепи отстает от комплексного напряжения на угол .

Аналогично проводят анализ для электрических цепей с последовательным соединением элементов с R и L или с R и С. В первом случае (Рис. П7.21, а) имеем:

XC 0 ; X X L ; Z R2 X L2 ;

На Рис. П7.21, б представлена векторная диаграмма, соответствующая этому случаю. Ток в цепи отстает от напряжения на угол .

При последовательном соединении элементов с R и С (Рис. П7.22, а) имеем:

На Рис. П7.22, б построена векторная диаграмма для такой цепи. Ток в ней опережает напряжение на угол .

Основные соотношения между электрическими величинами в электрических цепях приведены в табл. П7.1.

162