3.Общие прaвилa преобрaзовaний.

Здесь формулируются правила дифференцильного исчисления для функций нескольких переменных‚ которые используются при выводе соотношений между термодинамическими величинами. В номерах формул‚ выражающих правила‚ опущено указание на номер главы‚ чтобы упростить ссылки на них в гл. 4. Для большей наглядности в правилах использованы не обезличенные обозначения переменных x, y,...‚ а произвольно выбранные примеры термодинамических величин. Очевидна возможность расширения правил на большее число переменных.

(1). Общее выражение для полного дифференциала. Если p=p(V‚T)‚ то

. (1)

Это–—–определение полного дифференциала функции‚ не предполагающее малости дифференциалов (приращений) незави-симых переменных. Обычно‚ однако‚ их молчаливо считают  достаточно  малыми‚  и  тогда  с точностью до поправок второго порядка малости dp есть приращение p.

Следующие два правила представляют собой тривиальное обобщение—соответствующих —правил—для—функций—одного аргумента. Переменная‚ остающаяся постоянной при всех дифференцированиях‚ как бы не существует.

(2). Производная от обратной функции.

(2)

(3). Замена независимой переменной (производная от сложной функции). Если U=U(S,V)‚ где в свою очередь S=S(T,V)‚ то

. (3)

(4). Циклическая замена переменных. —Если в (1) положить dp = 0‚ т.е. p–=–const, —то—получим—уравнение‚—связывающее

приращения переменных T и V при постоянном p. Находя отношение этих приращений‚ имеем

. (4)

Здесь в правой части использовано правило (2). Обратите внимание‚ что правила (3) и (4) кажутся очень похожими по внешнему виду‚ но существенно различны по смыслу.

Выписывая формулы типа (3) и (4)‚ удобно представить себе‚ что дифференциалы одних и тех же величин в числителе и знаменателе могут сокращаться по правилам алгебры (что в случае (4)‚ конечно‚ незаконно). При этом в (4) у каждой производной в качестве параметра указывается третья из переменных и в правой части добавляется минус.

Правило (4) можно записывать в различных эквивалентных формах‚ из которых наиболее удобна для запоминания симметричная:

. (4a)

(5). Замена параметра. Пусть независимыми переменными являются V и T‚ а нас интересует производная (¶p/¶V)_S. Тогда мы должны исходить из выражения (1) для полного дифференциала функции p=p(V‚T)‚ разделить это выражение на dV и наложить условие S = const. (что превращает отношения дифференциалов в частные производные). Это дает

. (5)

Выписывая формулу в таком виде‚ удобно рассуждать так: “Нас интересует‚ какое приращение получит р‚ когда V меняется на dV при постоянном S. Сначала проведем процесс при постоянном Т. Затем будем менять Т при постоянном V и учтем‚ что изменение Т вызвано изменением V при постоянном S“.