5. Сформулювати поняття про центральну граничну теорему. Перелічити основні особливості нормального розподілу. Пояснити, що таке “похибка середнього”.

ЦПТ: Чем больше членов в сумме, тем ближе распределение суммы случайных величин к нормальному закону (независимо от вида распределения отдельных слагаемых). Сумма 10-и и более слагаемых распределена нормально. Если закон распределения отдельных слагаемых хотя бы симметричен, то нормально распределена сумма значительно меньшего числа слагаемых (порядка 5-и).

Нормальный закон – одномодальный, симметричный, характеризуется правилом 2- сигм.

Выборочное среднее распределено асимптотически нормально с характеристиками ; . Величина называется ошибкой среднего или «стандартной ошибкой» (не путать со «стандартным отклонением»!)

5. Дати поняття про розподіл Стьюдента. Показати, як визначаються границі 95%–вого довірчого інтервалу на генеральне середнє (математичне сподівання); як визначається потрібний обсяг вибірки для оцінки центра угруповання сукупності із заданою точністю і надійністю.

Если величина z распределена нормально N(z; a; _z) , то величина распределена по закону Стьюдента с параметрами а и ЧСС = n – 1. В частности, по Стьюденту распределена статистика . Распределение Стьюдента очень похоже на нормальное (одномодальное, симметричное), но правило «2-х сигм» заменяется на , где значение t _0,05 зависит только от ЧСС и определяется по табли­цам Стьюдента; при n  30 t _0,05  2 (уже соблюдается правило «2-х сигм»). Уровень доверия этого утверждения Р = (1 ‑ 0,05) = 0,95. Отсюда получаем такой 95%-ный доверительный интервал на математическое ожидание (генеральное среднее): – с гарантией 95% этот доверительный интервал со случайными границами накрывает неизвестное значение а = М(х). Если потребовать, чтобы относительная погрешность в определении а = М(х) была не больше q% , получаем соотношение для определения потребного объема выборки в виде . Это неравенство решается последовательными приближениями.

5. Пояснити, що таке гістограма, як вона будується, чим відрізняється від диференційної функції розподілу, чому дорівнює її повна площа і площа на заданому інтервалі.

Гистограмма – ступенчатый график плотности вероятности попадания случайной величины в заданные интервалы. Ординаты гистограммы: , где h_i – ширина интервала. Гистограмма – эмпирическая оценка дифференциальной функции распределения. Площадь одного столбика гистограммы равна оценке вероятности попадания случайной величины в этот интервал. Площадь всей гистограммы равна 1.

5. Пояснити, що таке кумулята, як вона будується, чим відрізняється від інтегральної функції розподілу. Дати визначення функції розподілу (інтегральної функції розподілу) і сформулювати суть інтегральної теореми.

Кумулята – график относительных частот, накопленных к правым краям интервалов, с ординатами на правых краях . Для дискретной случайной величины график кумуляты ступенчатый, для непрерывной величины – кусочно-линейный. Кумулята – эмпирическая оценка функции распределения (интегральной функции распределения) F(x) = Р(Х  х). Интегральная теорема: Р(х₁  х  х₂) = F(x₂) – F(x₁) .