Подставляем в уравнение и после сокращения на получаем:

Это соотношение имеет место при любом r , вследствие чего оба члена, взятые в скобки, должны равняться нулю в отдельности, т.е.:

n = 1 l = 0 z = 1

Задача №2.

Вычислить максимальную энергию EF (энергию Ферми), которую могут иметь свободные электроны в металле (медь) при температуре Т = 0К. Принять, что на каждый атом меди приходится по одному электрону.

Решение:

Задача №3.

Электропроводимость чистого германия возрастает в N = 31,6 раза при увеличении температуры от Т1 = 300 К до Т2 = 400 К. Рассчитать максимальную длину волны излучения, при которой ещё наблюдается внутренний фотоэффект в германии.

Решение:

Внутренний фотоэффект обусловлен образованием пар электрон-дырка в полупроводнике под действием электромагнитного излучения.

– энергия кванта излучения должна быть не меньше, чем ши-

рина запрещённой зоны полупроводника, т.е.:

 max – красная граница фотоэффекта, при которой ещё будет наблюдаться внутренний фотоэффект в полупроводнике:

Это инфракрасное излучение. Поэтому внутренний фотоэффект в германии будет наблюдаться и при облучении его видимым светом.

Вариант №4.

Задача №1.

Показать, что координата и соответствующая ей составляющая импульса не коммутируют.

Решение:

и ли

Задача №2.

3

Оценить температуру вырождения для электронного газа в калии, если принять, что на каждый атом калия приходится по одному электрону проводимости. Плотность калия 0 = 860 кг/м.

Решение:

Задача №3.

Определить положение уровня Ферми в собственном полупроводнике.

Решение:

Вероятность появления электрона на уровне вблизи энергии E’’ должна быть равна вероят-ности опустошения квантового состояния в основной (валентной) зоне вблизи E’.

Математически это равенство можно выразить соотношением:

f (E’’) = 1 – f (E’).

В левой части стоит функция Ферми-Дирака для уровня с энергией E’’, по физическому смыслу равная вероятности заполнения электроном уровня E’’.

В правой части – вероятность того, что квантовое состояние E’ не заполнено электроном. Эта последняя вероятность выражена через разность между единицей и функцией Ферми-Дирака для уровня E’, так как сумма вероятности того, что уровень занят электроном и вероятности того, что он не занят электроном, равна единице.

Подставляем в равенство выражение для функции Ферми-Дирака, получим:

П осле приведения правой части к общему знаменателю и сокращений получим:

Из этого равенства следует, что:

E’’ – EF = EF + E’

E ’’ – E’ = 2EF

Уровень Ферми из собственных полупроводников лежит строго в середине запрещённой зоны.