Домашнее задание №2. Вариант №1.

Задача №1.

Записать оператор момента количества движения в декартовой системе координат и его проекцию на ось Z в полярной системе координат.

Р ешение:

x = r sin v cos , y = r sin v sin , z = r cos v,

П о л н ы й д и ф ф е р е н ц и а л:

r = Const и v = Const, изменяется 

З адача №2.

Написать функцию Ферми-Дирака, построить её график, определить из аналитической формулы и из графика вероятность заполнения квантовых состояний с энергией E = EF. Чему равна f (E, T) при Т = 0 ? Что это значит?

Решение:

Если Е = ЕF, то f (E,T) = ½ = 0,5.

При Т = 0, вероятность заполнения энергетических уровней равна 1, все

энергетические уровни в этом интервале энергии заполнены электронами.

Задача №3.

Определить плотность тока в р-n переходе при его прямом включении к источнику тока с разностью потенциалов на зажимах V.

Решение:

До включения во внешнюю цепь, p-n переход находился в равновесном состоянии (Рис. 2).

ps и ns – неосновные носители тока.

В равновесном состоянии: jn = jns; jp = jps.

= n – p,

n – потенциал электронного проводника,

р – дырочного.

Результирующая плотность диффузионного тока через p-n переход равна нулю.

j = jp + jn – jps – jns = 0

Из-за малой концентрации носителей в примесном полупроводнике они подчиняются классической статистике Больцмана.

n' = Const exp [-e/KT ] для электронов.

p' = Const exp [-e/KT ] для дырок

J nn’ и jpp’ пропорциональны

П ри подключении к внешнему источнику разность потенциалов уменьшается на V, т.Е. E(– V).

j = C1 exp [– e ( – V) / KT] + C2 exp [– e ( – V) / KT] –

– C1 exp [– e  / KT] – C2 exp [– e  / KT] =

, где: js = jns + jps

Выпрямители переменного тока (полупроводниковый диод).

Вариант №2.

Задача №1.

Вычислить вероятность нахождения электрона в атоме водорода в состоянии ls (n = 1, l = 0).

Решение:

где N – нормирующий множитель.

Вероятность нахождения электрона на расстоянии от r до r + dr от ядра в любом направлении получится, если проинтегрировать по углам:

Плотность вероятности обращается в нуль при r = 0 и асимптотически стремится к нулю при r . Поэтому есть определённая вероятность найти электрон на любом расстоянии от ядра между 0 и . Определим расстояние, на котором вероятность максимальна. Продифференцируем уравнение и при

равняем к нулю, и после сокращения на получим

Задача №2.

Определить концентрацию электронов в металле при абсолютном нуле. Энергия Ферми равна 1 эв.

Решение:

Задача №3.

4

Сопротивление образца из сернистого свинца при температуре t1 = 20C равно R1 = 10 Ом. Определить его сопротивление при t2 = 80C. Ширина запрещённой зоны из сернистого свинца E3 = 0,8 эв.

Р ешение:

где: Т = 293 К, Т2 = 353 К.

Вариант №3.

Задача №1.

Определить энергию электрона в атоме водорода в состоянии ls используя уравнение Шредингера в сферических координатах.

Решение:

Состояние ls характеризуется полной сферической симметрией, следовательно функция будет зависеть только от r и не зависеть от v и . Поэтому члены, содержащие производные по v и в операторе Лапласа, равны нулю.

Обозначим:

Простейшее решение этого уравнения, имеющее конечное значение при r = 0 и стремящееся к нулю при r, есть:

Действительно,