Задача № 6.240.
Получить с помощью формулы Планка
приближённые выражения для объёмной
спектральной плотности излучения
в области, где:
1)
(формула Рэлея-Джинса);
2)
(формула Вина).
Решение:
Формула Планка для спектральной плотности энергии излучения имеет вид:
(1)
1) Рассмотрим случай
.
При
мы приближаемся к классическому случаю
– предположению о том, что энергия
излучения не квантована. Разложим
экспоненту в ряд (при
):
(2)
Пренебрегая членами, начиная со второго порядка, приближённо получим:
(3)
Подставляя приближённое выражение (3) в выражение (1), получим:
(4)
Мы получили формулу Рэлея-Джинса для спектральной плотности энергии излучения. Значения спектральной плотности энергии излучения, полученное с помощью формулы Рэлея-Джинса удовлетворительно совпадают с экспериментальными значениями только в области длинных волн. Этот факт согласуется с нашим первоначальным предположением
- область малых частот или больших длин
волн.
2) Теперь рассмотрим случай
.
Из формулы Планка для спектральной
плотности энергии излучения (1)
автоматически имеем:
(5)
где
.
Выражение (5) – формула Вина.
Итак, с помощью формулы Планка для спектральной плотности энергии излучения мы пришли к формуле Рэлея-Джинса и формуле Вина.
Ответ:
1)
,
2)
.