Домашнее задание № 1.

Вариант№1

Задача№1

Электрон начальной скоростью которого можно пренебречь, прошел ускоряющую разность потенциалов U. Найти длину волны де Бройля для двух случаев:

1. U₁=51B 2. U₂=510 KB.

Решение.

Длина волны де Бройля частицы зависит от импульсаP.

Когда T<<E₀ , где T=E_k, нерелятивистская частица. E₀=m₀c²=0.51 Мэв.

;

Когда TE₀ – релятивистская частица.

1) эв=0,51*10^-4 Мэв

,

где м – комптоновская длина волны.

м=172 пм

2) Кэв=0,51Мэв=E₀

Мэв=;

м=1,4нм

Задача №2

Электрон находится в бесконечно глубоком одномерном прямоугольном потенциальном ящике шириной l. Вычислить вероятность того, что электрон, находящийся в возбужденном состоянии (n=2), будет обнаружен в средней трети ящика.

Решение.

W= (1). - нормированная волновая функция.

. Возбужденное состояние n=2 , (2)

(3), где и

y(0)=0 y()=0 x

0

=

=; ()

Задача №3

Рентгеновское излучение (=1нм) рассеивается электронами, которые можно считать практически свободными. Определить максимальную длину волнырентгеновского излучения в рассеянном пучке.

Решение

, где .

- комптоновская длина волны.

м

Если =1, то

нм

Задача №4

Определить среднее значение координаты линейного гармонического осциллятора в нормальном состоянии. Нормированная волновая функция этого состояния известна:

, где a=.

Решение

.

Все интегралы вида , вследствие нечетности подынтегральной функции

Вариант №2

Задача №1

На узкую щель шириной а=1мкм направлен параллельный пучок электронов, имеющих скорость =3,65 Мм/с. Учитывая волновые свойства электронов, определить расстояние х между двумя максимумами интенсивности первого порядка в дифракционной картине, полученной на экране, отстоящем наL=10 см от щели.

Решение

(1). Условие максимума при дифракции на одной щели: (2), гдеk=0,1,2….. порядковый номер максимумов; а – ширина щели. Для максимумов первого порядка (k=1) угол мал :sin=. м = 60мкм

a Ltg X

Задача №2

Многоэнергетический поток электронов (Е=100эв) падает на низкий прямоугольный потенциальный барьер бесконечной ширины. Определить высоту потенциального барьера U, если известно, что 4%падающих на барьер электронов отражается.

Решение

, в области I кинетическая энергия электрона равна Е.

т.к. .

Разделим числитель и знаменатель дроби и знаменатель дроби :. Возведя обе части равенства в квадрат, найдем высоту потенциального барьера: эв.

Задача№3

Определить максимальную скорость фотоэлектронов, вырываемых с поверхности серебра: 1)ультрафиолетовым излучением с длиной волны=0,155мкм

2) -излучением с длиной волны=1пм.

Решение

; .

1. если , то классический случай.

Дж=1,28*10^-18 ДЖ

эв=8эв. Е₀=0,51Мэв.

; А= 4,7эв . А=4,7*1,6*10^-19Дж=7,52*10^-19Дж.

м/с

2)Дж

эв=1,24*10⁶эв =1,24Мэв

. Работа выхода А=4,7эв, мала по сравнению с энергией фотона, поэтому можно принять, что максимальная кинетическая энергия электрона равна энергии фотона: Мэв .

Но для вычисления скорости нужно взять релятивистскую формулу кинетической энергии:

, где и

м/c =2,85*10⁸ м/c

Задача №4

Определить среднее значение импульса линейного гармонического осциллятора в нормальном состоянии. Нормированная волновая функция этого состояния известна:

, где a=.

Решение

Как и в классической механике, в этом случае равны нулю, что и следовало ожидать из соображений симметрии функцииотносительноx.

Вариант №3

Задача №1

На грань кристалла никеля падает параллельный пучок электронов. Кристалл поворачивают так, что угол скольжения изменяется. Когда этот угол делается равным 64, наблюдается максимальное отражение электронов, соответствующее дифракционному максимуму первого порядка. Принимая расстояние d между атомными плоскостями кристалла равным 200пм, определить длину волны де Бройля электронов и их скорость.

Решение

К расчету дифракции электронов от кристаллической решетки применяют уравнение Вульфа-Брегга, которое используется в случае рентгеновского излучения.

, k- порядковый номер дифракционного max, - длина волны де Бройля.

пм.

Задача №2

U(x) I II III E x 0 d рис 1

Электрон с энергией Е=4,9 эв движется в положительном направлении оси х (рис 1). Высота U=5 эв потенциального барьера. При какой ширине d барьера вероятность W прохождения электрона через него будет равна 0,2?