5 Принципы нагляд, сознатель…

Принцип сознательности Кратко суть этого принципа заключается в том что в рез-те изучения матем-ки ученик д/н не только знать, но и понимать изученное. Сознательность обучения достигается за счет того, что учитель обращает внимание шк-ов не только на внешние характерные признаки материала, но и добивается усвоения его матем-кой сути нужных деталей изучаемого. Сознательность проверяется разными формами письменного и устного опроса, а также с помощью задач на применение полученных знаний в нов или в не стандартных условиях.

Антикодом сознательно усвоения материала явл-ся так назв. формализм усвоения знаний.

Активность в обучении матем-ке. Этот принцип в преподавании матем-ки понимают как в широком так и в узком смысле этого слова. В широком смысле активность при обучении метем-ки совпадает с активностью при обучении любой другой шк. дисциплины, т.е. ученик слушает, смотрит, воспринимает, понимает и проявляет внешние признаки этого понимания (поднимает руку, отвечает на вопросы, выходит к доске, следит за ответами товарищей, участвует в диалоге с учителем). Активность в узком смысле слова означает активную мыслительность деят-ть шк-ка, направленную на понимание, усвоение, применение именно матем. фактов такая активность часто опр-ся матем. способностями и особенностями темпераментами уч-ся, довольно часто такая активность лишена внешних атрибутов активности. Активность в широком смысле слова не всегда означает активность в узком смысле слова.

Принцип систематичности и последовательности. Знания по матем не д/ны носить раздельный характер шк. прога постороена так, чтобы новое знание возникало на опр-ном фундаменте, т. е. было связано, опиралось на уже имеющие знания, кроме того сразу д/на намечаться перспектива где и для чего эти новые знания м/б применены Т.О. намечается перспектива по расширению имеющихся знаний и переходу на след. ступень изучения матем.-ки.

В основе этих принципов лежат общие дидактические правила обучения:

• обучать переходя от известного к неизвестному, новому

• обучать переходя от простого к сложному

• при обучении следи, как усваивается материал и сразу ликвидируй пробелы в знаниях

На основе этих принципов шк. курс матем. разбивается на 2 основных ступени:

1. пропедевтический курс матем-ки (5-6 кл)

2. систематический курс матем.ки (7-11 кл)

Принцип наглядности. Этот принцип в обучении матем-ки выступает как единство конкретного и абстрактного. Это объясняется тем, что практически все матем-кие понятия обладают высокой степенью абстрактности, однако большинство из них явл-ся обобщениями реальных и конкретных объектов или явлений, поэтому при изучении матем-ки довольно часто приходиться обращается к цепочке от восприятий и представлений к абстрактным понятиям, используя соответствующие наглядные образы.

На уроках матем-ки для реализации этого принципа используют различные объекты, кот. назв. наглядными пособиями. Пособия по матем-ке обычно носят условные или символический характер, модели, табл., чертежи и др. наглядные пособия. Особое место среди этих наглядных пособий занимают подвижные модели или конструктуры. Роль наглядности в обучении матем-ки существенно меняется в зависимости от возраста уч-ся и содержания матем. дисциплины. Применение наглядных пособий есть свои достоинства и недостатки, поэтому учителю следовательно помнить о грамотности своевременном и дозированным принципе наглядности, чтобы не нанести вред формированию абстрактного мышления и простого воображения шк-ов.

6. Проблемы организационных форм обучения в методике преподавания математики. Формы организации обучения в различных типах учебных заведений представляют собой внешнее выражение взаимодействия учителя и учащихся, регулируемое соответствующими правилами и законами. Среди конкретных форм организации обучения чаше всею выделяют уроки, прак­тикумы, семинарские и факультативные занятия, дополнительные занятия и консультации, предметные кружки, конференции, учебные экскурсии, до­машнюю работу учащихся. Основной органичационной формой массового обучения математике в современной школе остается урок, имеющий немало известных педагогических достоинств. Применение же иных форм обуче­нии обусловлено созданием неодинаковых, специфичных условий для обу­чения, воспитания и развития учащихся. Целесообразность применения той или иной формы определяется конкретной дидактической целью, содержа­нием и методами учебной работы.

Каждая из форм обучения входит в общую систему образовательного процесса как составная часть, неся в себе определенную дидактическую на­грузку, имея свои сильные и слабые стороны, специфические особенности и области наилучшего применения. Вместе с тем структурные элементы раз­личных форм организации обучения все чаще используются учителями при конструировании уроков математики, что получило отражение в их назва­ниях: урок-семинар, урок-конферениия и т. д. Подобное воздействие на урок оказывают и разрабатываемые ныне педагогами своеобразные формы организации занятий - студии; мастерские; разновозрастные классы, в кото­рых реализуются различные методики коллективного способа обучения, и т.д. Потому современный урок рассматривается не как статичная, но как «вариативная» форма организации занятий. Более того, урок и поныне явля­ется постоянно развивающейся коллективно-индивидуальной организацион­ной формой обучения. Главное же направление этого развития видится в стремлении добиться того, чтобы урок стал результатом творчества учителя и учащихся.

Урок как ключевой компонент классно-урочной системы организа­ции обучения, В педагогической литературе, определяя понятие «урок», сво­дят его к целостному, логически завершенному, ограниченному определенными рамками времени отрезку образовательного процесса, в которая учебная работа проводится с постоянным составом учащихся примерно одинакового возраста и уровня подготовки. Ему присуща следующая совокупность при­знаков: наличие определенных образовательных, воспитательных и разви­вающих целей; отбор в соответствии с поставленными целями конкретного учебного материала и уровней его усвоения; достижение поставленных целей путем полбора подходящих средств и методов обучения; организация соответ­ствующей учебной деятельности учащихся Потому в целом можно констатировать, что урок, сохранив присущие ему признаки, в то же время является ныне не только вариативной, но и постоянно развивающейся формой организации коллективно-индивидуального обучения математике. В свою очередь, урок математики обладает целым рядом специфичных особенностей. Для него характерны и являются наиболее существенными следующие признаки: I) содержание урока математики, как правило, не является автономным, оно разворачива­ется с опорой на ранее щученное, подготавливая базу для освоения новых знаний, что связано со строгой логикой построения курса математики; 2) в процессе овладения системой математических знаний, в большей степени по сравнению с другими учебными предметами, уделяется внимание разви­тию у учащихся логического мышления, умений рассуждать и доказывать; 3) при обучении математике должны быть созданы условия для того, чтобы каждый ученик мог усвоить на уроке главное в изучаемом материале, по­скольку без базовой математической подготовки невозможна постановка об­разования современного человека; 4) стремление к эффективному обучению учащихся на уроках математики обусловлено и тем, что в школе матема­тика служит опорным предметом для изучения смежных дисциплин;5) в процессе обучения математике теоретический материал осознается и усваи­вается преимущественно в процессе решения задач, поэтому на уроках ма­тематики чаще всего теория не изучается в отрыве от практики.

Понятие структуры урока. Всякий урок имеет свой состав и свое строение - структуру. В состав урока входят его структурные элементы (компоненты, этапы урока). Под структурой же урока понимается совокуп­ность различных вариантов взаимодействий между элементами урока, возни­кающая в процессе обучения и обеспечивающая его целенаправленную дей­ственность. Отметим при этом, что с этапами урока связано и понятие его дидактических задач, определяемых как ожидаемый результат каждого эта­па, ориентированного на зону ближайшего развития учащихся.

Существуют различные подходы к выбору основных структурных эле­ментов урока. В зависимости от их состава структура урока имеет различ­ную степень общности.

Так, общая дидактическая структура урока характеризуется следую­щими компонентами:

—актуализацией прежних знаний и способов действий;

—формированием новых знаний и способов действий:

-их применением, т. е. формированием умений.

Актуализация наряду с воспроизведением ранее изученного предпола­гает установление преемственных связей прежних и новых знаний, приме­нение прежних знаний в новых ситуациях, их углубление и т. д. Второй компонент общей дидактической структуры урока связан с раскрытием сущности новых понятий, усвоением новых знаний и способов учебной и умственной деятельности учащихся, формированием их убеждений. Форми­рование умений достигается применением новых знаний и способов дейст­вий, их обобщением и систематизацией, использованием на практике и т. д.

Более конкретные этапы уроки можно рассматривать как результат раз­укрупнения компонентов его общей дидактической структуры. В практике обучения чаше всего выделяют следующие основные этапы урока:

—постановку пели урока;

— проверку домашнего задания;

—повторение пройденного;

—объяснение нового материала;

—закрепление изученного;

—обобщение и систематизацию новых знаний;

—контроль знаний и умений учащихся;

—•постановку домашнего задания.

Знание особенностей каждого из этапов, владение методиками их орга­низации позволяют учителю целенаправленно конструировать различные по своей структуре и назначению уроки, отличающиеся сочетанием их компонентов, значимостью каждого из них, продолжительностью и взаи­модействием.

7 .Учебник математики. Назначение учебника математики. Учебник математики - книга, излагающая основы научных знаний по математике в соответствии с' целями обучения, определенными программой и требования­ми дидактики.

Применительно к уровню образовательной подготовки учащихся в учебнике фиксируются объем и система знаний, подлежащих изучению.

Содержание и построение учебника определяются задачами преподава­ния математики в средней школе и спецификой предмета. Учебник математики должен: а) содействовать формированию научного мировоззрения, развитию ло­гического мышления; б) давать систематическое, научно обоснованное, доступное для уча­щихся данного возраста изложение основных теоретических сведений по математике; в) включать достаточное количество разнообразных задач и упражнений, расположенных в целесообразной с методической точки зрения последова­тельности.

В силу своего назначения в системе средств обучения учебник является ядром, вокруг которого группируются все другие учебные средства.

Своим содержанием и методическим аппаратом он оказывает решающее влияние на мышление учащихся, на развитие памяти, интереса, на выработку умения самостоятельно работать с учебником.

Анализ предъявляемых к учебнику по математике требований при­водит к выводу о том, что эта книга не имеет одного определенного ад­ресата. Прежде всего она предназначена ученику, так как содержание текста, подбор примеров, язык, уровень формализации и т. д. рассчитаны непосредственно на ученика соответствующего возраста. Вместе с тем в учебнике легко обнаружить и такой материал, который не является необ­ходимым для ученика в условиях классно-урочной системы обучения, од­нако он необходим учителю для организации учебного процесса. Этот ма­териал позволяет учителю увидеть методический замысел автора и эф­фективно реализовать его. Таким образом, вторым адресатом учебника яв­ляется учитель. Кроме того, учебник используется и другими лицами, такими, как представители администрации школы, родители, однако основ­ными потребителями учебника являются ученик и учитель.

Структура учебника математики. Учебник по математике для средней школы строится на основе определенных логических принципов, однако он учитывает возрастные особенности, учащихся, определенный для данного возраста уровень строгости изложения, поставленные цели обучения и т. д. Например, содержание школьного учебника по математике для младших классов, как правило, опирается на ближайшее окружение учащихся, знаков мое им из собственного опыта. Однако по мере расширения познаваемой среды она становится недоступной непосредственному восприятию ребенка. Поэтому необходимыми становятся описании и словесные объяснения, дающие готовые знания, излагаемый материал все в большей мере строится в логической последовательности, в результате чего наступает переход от систематичности, обусловленной средой, к логической систематичности.

Мотивация излагаемого материала. При изучении материала учебника с учащимися, пожалуй, самой трудной является проблема создания соот­ветствующей мотивации учения, т.е. потребностей, интересов, стимулов, обеспечивающих активность познавательной деятельности учащихся, ибо одного лишь указания на необходимость того или иного знания (для буду­щей деятельности) совершенно недостаточно для появления активного по­знавательного интереса. Устойчивым vi длительным является лишь тот ин­терес к предмету, который создается проблемной ситуацией. Представля­ется более целесообразным, если темы в учебниках начинаются с создания характерных проблемных ситуаций и представления средств для их раз­решения, а не с определения понятий и заучивания правил, излагаемых индуктивным или дедуктивным способом-. При этом характер проблемных ситуаций определяется содержанием теоретического материала и возрас­тными особенностями учащихся.

Роль и место репродуктивных заданий в учебнике математики. Известно, что ценность учебника по математике во многом определяется содержа­щейся в нем практической частью, так как система заданий - необходимый компонент аппарата организации усвоения материала учебника. В настоя­щее время в педагогической науке убедительно доказано, что в систему за­даний нужно включать и репродуктивные, и творческие задания. Система заданий в учебнике должна охватывать все элементы его содержания. Ре­продуктивный элемент формирует такое качество знаний, как оператив­ность, т. е. способность применять знания в различных ситуациях.

В качестве примера учебника, наиболее полно отвечающего современ­ным требованиям педагогической науки при построении системы репродук­тивных заданий, можно привести учебники- А.В.Погорелова «Геометрия, 7— 11» и Л.С.Атанасяна «Геометрия, 7—9». В конце каждого параграфа в них помещены вопросы для повторения и дополнительные упражнения.

Функции наглядности в учебнике математики. Вопрос о наглядности, об иллюстрациях в учебнике математики принципиально важен, но мало ис­следован. Совершенно очевидно, что не все виды применяемых иллюстраций имеют одинаковое значение для раскрытия изучаемых закономерностей. Было показано, например, что на процесс решения математической задачи существенное влияние оказывают схема и предметно-аналитическая картин­ка, в которой отражены количественные отношения между данными и ис­комыми. Использование схем и других условных обозначений важно потому, что они дают возможность выделить объективные отношения и закономерно­сти, т. ё. моделировать содержание изучаемого явления. Так или иначе прибегая к наглядности, мы всегда исходим из анализа методических функций наглядности, представленной в учебнике математики. Можно ус­ловно выделить следующие из этих функций.

а) Познавательная функция наглядности, методической целью которой является формирование познавательного образа изучаемого объекта. Это формирование происходит постепенно от простого к сложному, при этом мысль учащегося направляется по кратчайшим и наиболее доступным пу­тям к целостному восприятию объекта.

б)Функция управления деятельностью учащегося. При реализации функ­ции управления средства и приемы наглядности участвуют в ориентиро­вочных, контрольных и коммуникационных действиях. Ориентировочным действием может служить, например, построение чертежа, соответствующе­го рассматриваемому условию, а также внесение в него дополнительных элементов. Контролирующие действия направлены на обнаружение оши­бок при сравнении выполненного учащимся чертежа (схемы, графика) с помещенными в учебнике или в выяснении тех свойств, которые должен со­хранить объект при тех или иных преобразованиях. Коммуникационные действия отвечают той стадии реализации функции управления деятельно­стью учащегося, которая соответствует исследованию полученных им результатов. Выполняя эти действия, учащийся в свете собственного опыта объясняет другим или хотя бы самому себе по построенной модели суть изучаемого явления или факта.

в) Интерпретационная функция наглядности. Известно, что один и тот же объект можно выразить с помощью разных знаков и моделей. На­пример, окружность можно задать с помощью пары (центр и радиус), урав­нением относительно осей координат, с помощью рисунка или чертежа. Од­нако в одних случаях удобно воспользоваться ее аналитическим выражени­ем, в других - геометрической моделью. Рассмотрение каждой из этих моде­лей, которая в определенных условиях может служить средством наглядно­сти, является ее интерпретацией. Чем значимей объект, тем желательней дать большее количество интерпретаций, раскрывающих познавательный, образ с разных сторон.

г) Можно говорить об эстетической функции наглядности, а также об опосредованных методических функциях наглядности, таких, как функция обеспечения целенаправленного внимания учащегося, функция запомина­ния при повторении учащимися учебного материала, функция использова­ния прикладной направленности и др.

Используя различные функции наглядности, учебник способствует наиболее плодотворному мышлению учащегося, так как его внимание легко и своевременно, переключается со средств наглядности на полученную с их помощью информацию об объекте и обратно. Такое переключение сводит к минимуму отвлечение умственных усилий учащихся от предмета их дея­тельности.

Методы работы с учебником математики. Учебник и учебные пособия, занимают видное место и в процессе обучения, и в процессе усвоения) уче­ником программного материала, в его классной и домашней работе. Хоро­шо организованная и систематически проводимая работа по учебнику и учебным пособиям является одним из решающих условий усвоения учащи­мися знаний и навыков по математике. Между тем умение читать учебник математики и математическую книгу необходимо не только для изучения математики в школе. Умеющий читать математический учебник быстрее, овладеет методами самостоятельного изучения математики, физики, химии, биологии, техники. Чтению учебников математики надо специально обу­чать. Содержание и формы работы с учебником математики определяются возрастом учащихся, уровнем их математической подготовки и общего раз­вития, содержанием учебника, уже имеющимися умениями работы с ма­тематической книгой.

8.Научные методы.Наблюдение явл одним из часто употр-х на уроках матем научням мет-м изуч-я этой науки. Наблюдаяза рассужд-ми уч-ля и своих товарищей, фиксируя в памяти или письменно рез-ты этих наблюду ч-к постепенно накапливает необх-й материал для получ новых знаний, знакомства с новыми объектами и формулир-ки нов-х утв-ий,наблюд-ие на уроки, как и внимание в целом может быть произв-м и не произв-м. Задача учителя правильно орг-ть наблюд с тем чтобы, оно было направл на получ верных матем-х фактов .Наблюд как мет изуч в осн-м служит лишь для накопл-я фактов, необх для изуч новой темы,раздела,мет мат,но вывод получ в рез наблюд-я явл дишь гипотезой,кот-ую нужно либо док,либо опровергнуть.

Эксперимент как мет научн изуч не так часто исп в матем, как в эксперимент науках, но недооценивать этот мет нельзя.Довольно часто многократно повторенное в искусств усл-х, та или иная ситуация может привести к выдвижению нов матем гипотезой.Осн-м условием экс-та явл праильн-я его орг-ция,учет возр особен-й шк-в и правильн подвед итогов экс-та, с их послед фикцией( эк-т с отрыванием угов треуг-ка)

Анализ-В экспериментальных науках анализ поним как мет или Пием разбиения целого на сост-ые его части, и изуч-я св-в этого целого, по св-вам получ частей. В матем такая трактовка этого мет неудобна, поэтому под анализом в мет мат понимают такой прием мышления при кот-м от заключ-я переходят к причинам, усл-м, породившим или вызвавшим данное заключ. Ан-з как мет часто исп не только при изуч новой темы,но и при реш задач разного вида, док-ва теорем, тождеств, нер-в итд.Осн идея прим этого мет заключ в том что,полагают истинным заключ-е и с пом цепочки лог-ки верных рассужд-й переходят либо к усл лио к очевидному факту связ-му с этим усл.Выводы получ в рез прим ан-за явл правдоподобными,но не всегда достоверн,поэтому необх прим-ть доп-ые рассужд или мет синтеза,для того чтобы получ достоверн рез-т.

Синтез как мет изуч мат предст собой такой прием мышления при кот от усл перех к заключению с пом цепочки лог-ки верных рассужд. Сложность в прим синтеза заключ в том, что довольно часто прих-ся выб-ть с каких именно рассужд след начинать исп-ие усл-ие. Рез-т получ в итоге прим синтеза явл не только правдоподобн, но и достоверным и в дальнейшем обосн-ию не подверг-ся. Чтобы снять трудности при исп этого мет, в школе часто исп-т эти мет не изолир-но, а прим так наз-ый аналитико-синтетич мет.Вэтом случ анализ служит для составл плана реш-я и выбора 1-х операций с усл-м, а синтез прим-ся для обоснования и получ достоверного рез-та

Индукция как мет изуч мат-ки предст-т собой такой прием мышления пр котором от единичных и частных суждений перех-т к более общему суждению.Инд-я часто служит средством, методом для получ новой гипотезы, на осн-ии рассмотрений частных или единичных случаев, примеров.По своему виду инд-цию подразделяют на полную инд-это прием мышления при кот-м общее утв-ие получ-ся на осн-ии рассм-ия всех возм-х частных и единичных случаев.Неполная инд подразделяется на слабую и сильную инд.Слаб неполная инд-это прием мышления при кот-м общ заключение получ на основании рассм-ия единств частного случ. Непоная сильн инд –это прием мышления, пр которм общ утв-ие получ на осн-ии рассм-ия не скольких но не всех возм-х частных случаев. Как мет изуч именно неполн сильн инд прим на уроках мат.Вывод получ по инд явл правдоподобн и нуждается в обосновании.

Дедукция.Прием мышления при кот от достоверного общего рассужд перех-т к частным и единичным суждениям.Вывод получ по дедукции явл достоверным и в обосновании не нуждается. Поэтому в шк исп комбинацию дед и инд, мет наз-т индуктивным и дедуктивным. Мет изуч мат в основе кот лежит инд-я чаще наз конкретно-индуктивным, а мет в основе кот-го лежит дед-я наз абстрактно-дедуктивным.

Как метод исследования традукция заключа­ется в том, что, установив сходство двух объектов в некотором от­ношении, делают вывод о сходстве тех же объектов и в другом отно­шении.

Важнейшим видом традуктивного умозаключения является ана­логия (греч. analogia — соответствие, сходство).

«При умозаключении по аналогии знание, полученное из рас­смотрения какого-либо объекта («модели»), переносится на другой, менее изученный (менее доступный для исследования, менее на­глядный и т. п.) в каком-либо смысле объект. По отношению к конкретным объектам заключения, получаемые по аналогии, но­сят, вообще говоря, лишь вероятный характер; они являются од­ним из источников научных гипотез, индуктивных рассуждений и Играют важную роль в научных открытиях»

Сравнение-мысленное установление сходства или различия объектов изучения

9. Дид-ие материалы. Учеб.мат-ки яв-ся одним из основных, но не единственным средством обучения. В обучении исп-ся единый комплекс взаимосвязанных между собой книг, наглядных по­собий и технических средств обучения. Одним из видов книг учебного комплекса яв-ся «Дид-ие материалы», издаваемые по всем ма­тематическим дисциплинам отдельно для каждого класса.

Назначение «Дид-их материалов». Прежде всего «Дид-ие материалы» оказывают серьезную помощь учителю математики в орга­низации сам-ого решения задач и выполнения упражнения уча­щимися по курсу математики. Они предназначены для проведения части урока, а иногда и всего урока по фронтальному или индивидуальному са­м-му решению задач. Это чаще всего обучающие сам-ые работы.«Дид-ие

мат-лы» исп-ся учителями для проведения фронтального коллективного решения задач на уроке, при опросе учащихся, в качестве доп-ых заданий быстро решающим задачи учащимся.

«Дид-ие материалы» предназначены и для организации индиви­дуальной работы с учащимися при их сам-ом решении мат-их задач. Так, некоторые из задач и текстов сам-ых работ, по­мещенных в «Дид-их материалах», могут быть использованы для работы со слабыми учащимися в качестве доп-го задачного материала.

Содержание и стр-ра книг «Дид-ие материалы ». Сод-ие всех изданных «Дид-их материалов» соответствует программам, учебникам и учебным пособиям по математике. Стр-ра учебных пособий «Дид-ие материалы» примерно одинаковы. Каждое из них нач-­ся с предисловия, в котором указано назначение предлагаемых работ и даны краткие указания к их использованию. В большинстве из них далее следует 4 сам-ые работы по каждой теме, тексты контр-ых работ по темам,4 варианта обзорных контр-ых работ (не во всех издани­ях), 2 варианта дополнительных сам-ых работ, ответы и указания к решениям.

Методика использования «Дид-их материалов». «Дид-ие материалы» не ставят своей целью полностью определить содержание, время и место проведения сам-ых и контр-ых работ. Решаю­щая роль в использовании средств обучения принадлежит учителю. Именно учитель в соответствии с требованиями программы, составом класса, инди­видуальными особенностями учащихся, тематическим планом изучения ма­тематики определяет окончательное содержание проводимых им работ, сро­ки и продолжительность их выполнения, ставит перед сам-ными работами конкретные цели и задачи. Это значит, что учитель не должен пунктуально, последовательно добиваться выполнения учащимися всех кон­тр-ых и сам-ых работ, помещенных в «Дид-их материалах». Учитель выбирает те задачи, выполнение которых считает необхо­димым условием формирования у учащихся прочных мат-их уме­нии и навыков. «Дид-ие материалы» - пособие для учителей, а не предписание к неуклонному решению всех помещенных в них задач. Учи­тель сам, используя тексты самостоятельных и контрольных работ. Хорошо проведенный инструктаж мобилизует учащихся на более точное и быстрое выполнение работы, на получение хороших результатов. В инст­руктаже учителю следует указать точное время, отведенное на выполнение работы, порядок решения задач или выполнения упражнений, предложен­ных в работе, некоторые особенности задач самостоятельной или контроль­ной работы, регламентировать поведение учащихся во время работы. В инст­руктаже должно быть указано, какими геометрическими инструментами разрешается пользоваться при выполнении чертежей, особенно при реше­нии геометрических задач на построение, разрешается ли пользоваться вы­числительными приборами или таблицами для вычислений. Каждая самостоятельная или контрольная работа должна организованно завершаться. Завершением самостоятельной работы является подведение ее итогов, проведенное по возможности на том же уроке, что и сама работа. Подведение итогов само­стоятельной работы должно предусматривать и четкое указание, чему нау­чились учащиеся, какие новые ЗУН они приобрели. Из итогов каждой сам-ой работы учитель должен сделать вы­воды для дальнейшего обучения учащихся математике. Справочники по математике и справочная математическая лит-ра. Обучение пользованию справочниками по математике, справочны­ми таблицами и другой справочной литературой должно найти свое место при изучении математики в средней школе. В самом деле, роль справочни­ков в деятельности квалифицированного рабочего, инженера, специалистов других профессий достаточно велика, к справочникам обращаются повседневно.

Учебное оборудование па математике. В наст.время для школы разработана система учебного оборудования по математике, нашедшая свою реализацию в «типовых перечнях учебно-наглядных пособий и учебного оборудования для общеобразовательных школ».В состав учебного оборудования по математике для средней школы входят:

1. Приборы, модели, инструменты.

2. Печатные ср-ва обуч.

3. Экранные ср-ва обуч.

Дадим краткую характеристику отдельных видов учебного оборудования и рассмотрим некоторые вопросы методики использования их в обучении ма­тематике в школе.

Приборы, модели, инструменты. Для педагогического процесса прибо­ры и модели имеют большое значение. В школьном преподавании наряду со сравнительно новыми для нашей школы видами учебного оборудования на­ходят достаточно широкое применение такие традиционные пособия, как набор подвижных моделей по геометрии для 7-9 классов, набор шарнирных моделей угла, треугольника и четырехугольника, демонстрационный прибор по стереометрии, стереометрический набор, стереометрический прибор, стереометриче­ский ящик. Опишем некоторые из перечисленных приборов.

Набор шарнирных моделей. Он состоит из шарннрно соединенных стержней и трубок. Позволяет собрать треугольники и четырехугольники и иллюстрировать различные виды этих многоугольников.

Комплект стереометрических тел для восьмилетней школы. Комплект состоит из двух каркасных тел: куба и прямо­угольного параллелепипеда - и из десяти полых пластмассовых тел.

Полые тела снабжены съемными основаниями. Набор включает прямой параллелепипед с прямоугольным ос­нованием; прямой параллелепипед с квадратным основанием; прямую приз­му с треугольным основанием; пирамиду с квадратным основанием; пира­миду с. прямоугольным основанием; пирамиду с треугольным основанием; цилиндр; конус, полушар. Основное назначе­ние полых тел - приближенный вывод формул объемов геометрических тел путем непосредственного измерения объема помещающейся в них воды.

Стереометрический набор, или комплект деталей для сборки моделей по стереометрии. Комплект состоит из набора деталей и предназначен для сборки моделей геометрических тел по всем разделам сте­реометрии, изучаемым в средней школе: «Прямые и плоскости»,«Многогранники»,«Круглые тела».

Печатные средства обучения. Печатные средства обучения - это таблицы, карточки-задания, тетради с печатной основой. До недавнего времени в распоряжении учителя был в основном только один тип таблицы по математике - иллюстративные таблицы. В настоящее время дидактические функции таблиц значительно расширены. Кроме иллюстративных табл, в практике препод-я математики широко используются так наз-ые рабочие и справочные табл.

10. Основными видами проверки знаний, умений и навыков учащихся по математике является текущая, тематическая и итоговая проверка.

Текущая проверка проводится в течение всего обучения, на каждом уроке, причем почти на каждом его этапе. В текущей проверке наиболее ярко прояв­ляются все ее функции. Поэтому текущая проверка требует от учителя боль­шего внимания, чуткости и тактичности: проверяется правильность и осознан­ность каждого практического и познавательного действия ученика, его умений производить анализ, обосновывать производимые действия, выделять сущест­венное в изучаемом, дифференцировать понятия, воспроизводить шаги пре­образований или доказательств теорем, сохранять нужное в памяти, пере­ходить на язык геометрический (графического, изображения) или символиче­ский и т. и. Текущая проверка содействует отработке и шлифовке знаний и умений.

Оценивание при текущей проверке оказывает огромное воспитательное воздействие: объективная оценка может поддержать, подбодрить ученика, поспешно выставленная - задержать, затормозить. Вообще оценка считается педагогически правильной, если она стимулирует дальнейшее развитие лично­сти. Поэтому при оценивании слабых учащихся иногда используют отсро­ченный контроль, когда оценку ставят им после усвоения проверяемых знаний (эффективность этого звена зависит и от умения учителя вести учет знаний, умений и навыков учащихся).

При тематической проверке выясняется усвоение учащимися основ­ных положений темы. Здесь внимание уделяется выявлению умений учащихся связно и последовательно излагать усвоенный материал, умений обобщать, конкретизировать и систематизировать, умений применять знания при реше­нии практических и познавательных задач.

Проведение тематической проверки во многом зависит от четкого выделе­ния в теме основных разделов или подтем. Число подтем определяет частоту этого вида проверки, и на практике она осуществляется через систему кратко­временных контрольных или самостоятельных проверочных работ (все осталь­ные самостоятельные работы являются чисто обучающими). На основе резуль­татов тематической проверки, включая результаты контрольной работы по те­ме, выставляются оценки за четверть, полугодие, учебный год.

Итоговая проверка носит более специализированный характер. Она проводится в форме экзаменов или годовых контрольных работ. На итого­вых испытаниях проверяются знания по важнейшим разделам и темам курса или курсу в полом: проверяется подготовленность учащихся к ч ру­довой деятельности пли продолжению обучения в старших классах, сред­них специализированных или высших учебных заведениях. Итоговые контрольные работы разрабатываются районными или городскими отделами народного образования, а экзамены проводятся по текстам пли билетам рес­публиканских министерств просвещения.

3) Среди методов проверки (способов изучения качества знаний, уме­ний и навыков учащихся) выделяют устную проверку, проверку письменно-графических работ и проверку практических работ.

Устная проверка организуется по-разному в зависимости от ее цели (реализация определенных функций проверки на уроке) и от содержания проверяемого материала. Среди целевых установок проверки можно выделить следующие: проверить выполнение домашнего задания, выявить подготовленность учащихся к изучению нового материала, прове­рить степень понимания и усвоения новых знаний, изучить уровни развития математической речи, свойств и качеств мышления, сохранение изученного в памяти, проверить сформированность учебно-познавательных умений и на­выков и др. В зависимости от содержания она проводится по материалу предшествующего урока или по отдельным разделам и темам курса. Методика устной проверки включает две основные части: а) составление проверочных вопросов и их задавание и б) ответ учащихся на поставлен­ные вопросы и слушание его.

Составление проверочных вопросов и заданий - важный элемент уст­ной проверки. Качество вопросов определяется их содержанием, адекватно­стью выявляемого, характером выполняемых учащимися при ответе на во­просы умственных действий, а также словесной формулировкой.

Основными приемами устной проверки, широко используемыми в практи­ке обучения математике, являются:

1. Проверка ответов и сообщений по домашнему заданию.

2. Проверка знаний, умений и навыков по ранее изученному материалу, если учитель не уверен в прочности его усвоения.

3. Проверка знаний по ранее изученному материалу, если он активно будет использоваться при введении новых знаний.

4. Проверка усвоения учащимися теоретического материала.

5. Проверка усвоения умений и навыков: способов действий и способов деятельности.

6. Проверка уровня развития устной математической речи.

7. Проверка уровня развития логического мышления учащихся: уме­ний рассуждать, делать выводы, доказывать и обосновывать свои действия

8. Проверка уровня развития свойств и качеств мышления.

широко применяется в обучении математике методом а письменно-графических работ. Этот метод слу­жит тем же целям, что и метод устной проверки, но и имеет свои качественные особенности. Это большая объективность по сравнению с устной проверкой (без эмоциональной окраски ответа и субъективных первых впечатлений учащихся и учителя), охват нужного числа проверяемых (возможность проверки каждого ученика, нескольких учащихся пли всего клас­са), экономия времени (при необходимости опроса всех учащихся за не­ большой промежуток времени), возможность ранжирования учащихся по уровню усвоения учебного материала (при выполнении одинаковых зада­ ний) и др.

При организации проверочной работы учащимся сообщается, в ка­ких тетрадях они будут ее выполнять, какие задания им предназначены (на карточках, по дидактическим материалам, на отдельных бланках и т. д.). При необходимости учащимся даются указания, как озаглавить работу, как оформить решение (какие действия следует обосновать и где ограничиться констатирующими записями), а также о времени выполнения работы. В процессе написания работы следует обеспечить полную самостоятельность ее выполнения каждым учеником и необходимые условия.

Наиболее важной и трудоемкой частью письменно-графической провер­ки является анализирование работ учащихся. Тщательно проведенный анализ позволяет глубоко изучить пробелы и достижения отдельных учеников, вы­делить типичные ошибки и основные затруднения учащихся, изучить причи­ны их появления и наметить пути их устранения.

■ Большое значение для практики обучения имеет анализирование тема­тических контрольных работ. Эти работы проводятся почти по каждому раз­делу изучаемого курса: в каждом классе, начиная с V, выполняется от 12 до 24 работ за учебный год (результаты работ хранятся в школах в течение всего учебного года). Данные анализа используются как для изучения уровня ус­воения учащимися содержания определенного раздела, так и для изучения качественных изменений знаний и умений на протяжении учебного года, раскрытия динамики их усвоения, распределения учебного материала по степени трудности усвоения его разделов и т. п.

Важное место в системе методов проверки занимает метод проверки Практических работ. С помощью этого метода получают данные об уме­нии учащихся применять полученные знания при решении практических за­дач, пользоваться различными таблицами, формулами, средствами малой механизации вычислительных работ, простейшими электронными вычисли­тельными машинами, чертежными и измерительными инструментами, при­борами и т. п.

Средства проверки. К средствам проверки относятся вопросы, задачи и другие задания, с помощью которых выявляются знания, умения и навы­ки учащихся. В настоящее время разработке средств проверки уделяется значительное внимание: создаются и распространяются такие средства, ко­торые не требуют больших затрат времени на подготовку, проведение и обработку результатов. Среди них выделяются как машинные, так и безмашинные средствапроверки.

Наи­более активно используются проверочные задания с выбором ответа. Некоторые контрольно-обучающие устройства предоставляют каждому ученику возмож­ность проконтролировать правильность выполненных им операций. Ученики сравнивают свои результаты с ответом, предварительно заложенным учителем в машину, что обеспечивает организацию самоконтроля знаний.

Среди безмашинных средств проверки в практике обучения активно ис­пользуются кратковременные устные и письменны проверочные работы, ма­тематические диктанты, контрольные работы на один или два урока, и др. Эти средства проверки достаточно хорошо разработаны и освещены в учебно-методической литературе, в дидактических материалах для учителя. В ком­плексе средств проверки широко используются: отдельные вопросы, задачи и задания, многие из которых изготавливаются в виде таблиц, карточек-заданий с печатной основой, матриц, заданий с выбором ответа и т. п. Эти средства про­верки разрабатываются для каждого класса и освещаются через методическую печать.

Говоря о средствах контроля знаний и умений, чаще всего имеют в виду задание или несколько заданий, которые предлагаются учащимся с целью выявления соответствующих поставленным целям результатов обу­чения. В основу классификации таких средств может быть положена форма ввода ответа на контролирующее задание.

В этом случае выделяются:

• задания свободного выбора ответа и

• тесты (ввод ответа определенным образом ограничивается). Рассмотрим каждую из этих групп.

11. Система общих, дидактических и воспитательных требований к современному уроку математики. Конструирование урока должно осуще­ствляться с соблюдением условий и правил его организации, а также требо­ваний к нему.

Под условиями понимается наличие факторов, без которых невозмож­на нормальная организация урока. Анализ учебного процесса позволяет выделить, как известно, две группы условий: социально-педагогические и психолого-дидактические.

В группе социально-педагогических можно отметить наличие четырех наиболее важных условий:

—квалифицированного, творчески работающего учителя;

—-коллектива учащихся с правильно сформированной ценностной ориен­тацией;

—необходимых средств обучения;

—доверительных отношений между учащимися и учителем, основан­ных на взаимном уважении. В группе психолого-дидактических можно указать следующие условия:

—уровень обученности учащихся, соответствующий программным тре­бованиям;

—наличие обязательного уровня сформированное™ мотивов учения и труда;

—соблюдение дидактических принципов и правил организации учебного процесса;

—применение активных форм и методов обучения.

Однако в условиях демократизации и гуманизации образования, разви­тия новых экономических механизмов вся совокупность требований к учеб­ному процессу сводится прежде всего к соблюдению дидактических принци­пов обучения: воспитывающего и развивающего обучения; научности; связи теории с практикой, обучения с жизнью; наглядности; доступности; систематичности и последовательности; самостоятельности и активности уча­щихся в процессе обучения; сознательности и прочности усвоения знаний и умений; целенаправленности и мотивации обучения; индивидуального и дифференцированного подходи к учащимся.

Кроме основных правил, вытекающих из дидактических принципов, учитель при подготовке урока руководствуется и специальными правилами организации урока, основанными на логике процесса обучения, принципах обучении и закономерностях преподавания. При этом следует:

—определить общую дидактическую цель урока, включающую образо­вательную, воспитательную и развивающую составляющие;

—уточнить тип урока и подготовить содержание учебного материала, определив его объем и сложность в соответствии с поставленной це­лью и возможностями учащихся;

—определить и детализировать дидактические задачи урока,

последовательное решение которых приведет к достижению всех целей;

— выбрать наиболее эффективное сочетание методов и приемов обучения в соответствии с поставленными целями, содержанием учебного материала, уровнем обученности учащихся и дидактическими задачами;

— определить структуру урока, соответствующую целям и задачам, содержанию и методам обучения;

—стремиться решать поставленные дидактические задачи на самом

уроке и не переносить их на домашнюю работу.

Говоря о требованиях к уроку, обычно, сводят их к обязанности соблю­дения всей совокупности отмеченных выше правил. Тем не менее, отметим, что с учетом социального заказа современной школе, раскрываемого в ключевых направлениях Федеральной программы развития образования, к.» наиболее значимыми требованиями к уроку математики являются:

—его целенаправленность;

—рациональное построение и дифференциация содержания урока;

—более полное использование гуманитарного потенциала математиче­ского образования;

—обоснованный выбор средств, методов и приемов, ориентированных на обучение, развивающее личность;

—организация продуктивной учебной деятельности учащихся на уроке с учетом их интересов, наклонностей н потребностей;

—мотивация учения и формирование у учащихся умений учиться математике;

—сотрудничество учителя и учащихся не только при проведении, но и

при разработке урока.

Типология уроков математики. Изучение сущности и структуры урока приводит к выводу о том, что урок является сложным педагогическим , объектом. Как и всякие сложные объекты, уроки могут быть разделены на типы по различным признакам.

Этим объясняется существование многочисленных типологий уроков. В теории и практике обучения наиболее распространены следующие т и поло­ти уроков:

— -по основной дидактической цели;

—по основному способу их проведения;

—по основным этапам учебного процесса При типологии по основной дидактической цели выделяют уроков:

—урок ознакомления с новым материалом;

—урок закрепления изученного;

—урок применения знаний и умений; ^

—урок обобщения и систематизации знаний;

—урок проверки и коррекции знаний и умений;

—комбинированный урок.

Типология по основному способу проведения подразделяет их ив уроки в форме:

—беседы;

—лекции;

—экскурсии—киноурока;—самостоятельной работы учащихся; '

—лабораторных и практических работ;

—сочетания различных видов занятий. Если же за исходные положения типологии берутся основные этапы учебного процесса, то выделяют следующие уроки

—вводные;

—первичного ознакомления с материалом;

—образования понятий, установления законов и правил;

—применения полученных правил на практике;

—повторения и обобщения;

—контрольные;

—смешанные или комбинированные.

Для более полного охвата разнообразных по своему назначению уроков, которые конструируются в практике обучения, реализуются типологии уро­ков не только по типам, но и по видам.

Деление уроков на виды чаще всего осуществляют по характеру деятель­ности учителя и учащихся. При этом подразделение на виды происходит для каждого типа урока в рамках используемой классификации. Так, например, контрольные уроки, являющиеся одним из типов в типологии по основным этапам учебного процесса, в свою очередь, подразделяются на следующие виды

—уроки устного опроса;

—уроки письменного опроса;

—зачеты;

—лабораторные и практические работы;

—самостоятельные и контрольные работы;

—сочетание разных видов.

Нестандартные уроки и вспомогательные формы организации обу­чения математике в шкале. 11одразделение уроков на типы и виды, тем не менее, не делает полными имеющиеся типологии. Подтверждением тому слу­жит прослеживаемая направленность на детализацию в типологиях уроков, разработанных в последнее время. Рассмотрим примеры подобных типоло­гий, классифицирующих уроки по форме их проведения. В одном случае выделяются следующие типы уроков:

1. Уроки в форме соревнований и игр: конкурс, турнир, эстафета, ду­эль, КВН, деловая игра, ролевая игра, кроссворд, викторина и т. д.

2. Уроки, основанные на формах, жанрах н методах работы, известных в общественной практике: исследование, изобретательство, анализ первоисточ­ников, комментарий, мозговая атака, интервью, репортаж, рецензия и т. д.

3. Уроки, основанные на нетрадиционной организации учебного материа­ла: урок мудрости, откровение, урок-блок, урок-«дублер начинает действо­вать» и т. д.

4.Уроки, напоминающие публичные формы общения: пресс-конференция, бриффинг, аукцион, бенефис, регламентированная дискуссия, панорама, телемост, репортаж, диалог, живая газета, устный журнал и т. Д.

5. Уроки, основанные на имитации деятельности учреждений и органи­заций: следствие, патентное бюро, ученый совет и т. д.

6. Уроки, основанные на имитации деятельности при проведении обще­ственно-культурных мероприятий: заочная экскурсия, экскурсия в прошлое, путешествие, прогулки и т. д.

7. Уроки, опирающиеся на фантазию: урок-сказка, урок-сюрприз и т.д.

8. Уроки с использованием традиционных форм внеклассной работы: «Следствие ведут знатоки», спектакль, «Брейн-ринг», диспут и т. д.

9. Интегрированные уроки.

10.'Трансформация традиционных способов организации урока: лекция-парадокс, парный опрос, урок-защита оценки, урок-консультация, урок-практикум, урок-семинар и т. д.

Другой подход к типологии уроков по форме их проведения позволя­ет выделить такие блоки однотипных уроков:

1. Уроки творчества: урок изобретательства, урок-выставка, урок-сочинение, урок - творческий отчет и т. д.

2. Уроки, созвучные с общественными тенденциями: урок - обществен­ный смотр знаний, урок - диспут, урок - диалог и т.д.

3. Межпредметный и внутрикурсовой уроки: одновременно по двум предметам, одновременно для учащихся разных возрастов и т, д.

4. Уроки с элементами историзма: урок об ученых, урок-бенефис, урок - исторический обзор, урок- портрет и т. д.

5. Театрализованные уроки: урок - спектакль, урок воспоминаний, урок -

суд, урок - аукцион и т. д.

6. Игровые уроки: урок - деловая игра, урок - ролевая игра, урок с ди­дактической игрой, урок - соревнование, урок - путешествие и т. д.

7. Вспомоагельные уроки: урок - тест, урок для родителей, урок - кон­сультация и т. д.

Сопоставление различных типологий уроков позволяет усмотреть опре­деленную тенденцию в их развитии - стремление более полно охватить со­временные формы организации урока. Вместе с тем созданные ц последнее время типологии, процессы построения которых включают перебор разра­батываемых в практике обучения уроков, нуждаются в регулярном попол­нении, уточнении и переработке. И за всей информацией об этом учитель должен постоянно следить и хорошо в ней разбираться. К тому же в прак­тике обучения конструирование учителем систем уроков, кик правило, не укладывается в рамки какой-то одной типологии. При этом приходится ре­шать и проблемы, связанные с выбором либо компоновкой той или иной сис­темы уроков. Существенную помощь здесь может оказать знание специфики строения совокупности уроков, в которых аккумулируются наиболее харак­терные конструктивные элементы остальных уроков.

12. матем. Сужден. И умозак. Матем.-ое мышление хар-ся 3-мя основными формами:понятиями, суждениями,умозаключениями. Пон. предст. собой основу любого в том числе и математич.-го мышления. С их помощью в сознании человека отраж-ся наиболее сущ-ые необходимые и достаточные признаки объектов или явлений. Перечень этих признаков приходится в определении понятия. При этом сущ-но, что некоторая часть понятий прин-ся в качестве основных неопред-ых, все последующие понятия строго опред-ся ч/з основные. Матеем-ие понятия вследствие этого не изолированы друг от друга,а связаны с множеством других понятий этой науки. Все известные понятия матем образуют систему понятий этой науки или тезаурус(словарь). Для усвоения любой науки недостаточно знаний ее тезауруса,поэтому и при изуч-ии матем необходимо научиться высказывать суждения и на основе одного или неск-их суждений высказывать новое суждение, к-е наз-ют умозаключением. Под матем-им суждением поним-ся утв.-е, истинность или ложность к-го может быть однозначно установлена. Пр. 1) Всякий ромб является парал-омм.-истинное суждение. 2) Всякий парал-мм является ромбом –ложное суждение. Вопросит-е и восклицат-е утверждения суждениями не являются.Под умозаключением поним-ся процесс получения ил вывода нового суждения на основании одного или неск-их уже изв-ых к этому моменту суждений. Основными видами суждений и умозаключений в математике являются аксиомы,постулаты и теоремы. Аксиома-утверждение, истинность к-го не доказывается. В школьной матем-ке аксиомы чаще всего формулируются как свойства основных неопред-ых понятий. В явном виде аксиомы формируются в курсе геометрии. Основу любого геометрического курса составляет минимальный перечень основных понятий и полный,но миним-ый и непротиворечивый перечень свойств этих основных понятий. Учителю следует понимать,что в зависимости от теоретической базы того или иного курса геометрии перечень основных понятий и аксиоматика могут существенно менятся. При изучении аксиом,при всей внешней простоте изучаемого материала возникают серьезные методические трудности при введении и изучении аксиом. Поэтому основным средством в введении аксиом является обращение к предметам окружающей действительности,моделям наглядным изображениям и здравому смыслу школьника. Утв-е, истинность к-го доказывается, наз-ся теоремой. Утв-е в к-ом приводится перечень требований к какому-либо понятию или другому утв-ю наз-ся постулатом. После того как приняты основные понятия сформулирована система аксиом все дальнейшее изучение геометрии строится строго дедуктивно на основании так называемого аксиоматического метода. В матем-ой науке рассм-ся понятие структура теоремы. В структуре обычно выделяют условие «Если..» и обозначают p, и заключение «..,то», обозначают q. Символически теорему можно записать 1) прямая. Выделяют еще 3 вида теорем:2) обратная;

3) противоположная;

4) обратно-противоп.

В школьном курсе матем рассм-ся только прямые и обратные теоремы.

13.Понятие как форма математического мышления: содержание и объем понятия. Родо-видовые отношении между понятиями. В отличие от восприятия и представления, понятие фиксирует в нашем сознании только существенные для этого случая признаки и свойства (являющиеся признака­ми этого понятия).

Понятие это форма мышления, в которой отражены существенные (отличительные) свойства объектов изучения.

Понятие считается правильным, если оно верно отражает реально суще­ствующие объекты.

Каждое понятие может быть рассмотрено по содержанию и по объему.

Содержание понятия - это множество всех существенных признаков данного понятия. Объем понятия - множество объектов, к которым применимо дан­ное понятие. Если объем одного понятия (n₁) содержится в объеме другого понятия (n₂) (ν_n1включено в ν_n2), то второе понятие (n₂) называется родовым по отношению к первому понятию, а первое (n₁) называется видовым по отношению ко второму. Так, например, понятие ромба - видовое понятие по отношению к понятию параллелограмма, а понятие параллелограмма - родовое понятие по отношению к понятию ромба.

Определение и классификация понятий. Процесс раскрытия содержа­ния понятия состоит в перечислении его признаков. Перечисление необхо­димых и достаточных признаков понятия, сведенных в связное предложение (речевое иди символическое), есть определение понятия (математического объекта). Каждый из признаков, сходящих в определение, должен быть необ­ходим, а все вместе - достаточны для у стан он лен ия данного понятия. В опре­делении должно раскрываться основное содержание понятия. В нем не должно содержаться лишних слов; не должно быть и пропусков. Во г пример правильного определения понятия параллелограмма: «Параллелограмм - че­тырехугольник, у которого две противоположные стороны попарно равны и параллельны»; а вот контрпримеры определений понятия «квадрат»: 1) квад­рат -.параллелограмм, у которого все углы прямые {недостаточное); 2) квад­рат - ромб с прямым углом (правильное); 3) квадрат - параллелограмм с рав­ными сторонами и с четырьмя прямыми углами (избыточное).

Определение каждого понятия можно было бы рассматривать а динами­ке, т.е. в виде процесса сведения одного понятия к другому. Последователь­ность шагов здесь конечна, так как, продолжая этот процесс, мы неизбежно придем к понятиям, считающимися первоначальными.

Процесс выяснения объема понятия называется классификацией поня­тия. Таким образом, под классификацией понимается разделение множества объектов, составляющих объем родового понятия, на виды. Это разделение основано на сходстве объектов одного вида и отличии их от объектов других видов в существенных признаках.

В процессе определения и классификации понятий данной науки образу­ется система понятий этой науки.

Методика формирования математических понятий. Начальным этапом является мотивация. Сущность этого этапа заключается в подчерки­вании важности изучения понятия, в побуждении школьником к целенаправленной и активной деятельности, в возбуждении интереса к изучению понятия. Мотивация может осуществляться как посредством привлечения средств нематематического содержания, так и в ходе выполнения специаль­ных упражнений, объясняющих необходимость развития математической теории.

Следующий этап выявление существенных свойств понятия, которые составят его определение. Он реализуется в основном посредством упраж­нений, основное назначение которых на этом этапе заключается в выделении существенных свойств изучаемого понятия и акцентировании на них внимания учащихся.

На этапе усвоения определении понятия каждое существенное свойство используемое в определении, делается специальным объектом изучения. Обеспечивается это требование с помощью упражнений. Одним из типов

таких упражнений является распознавание объектов, принадлежащих поня­тию.

Следующий этап: использование понятия в конкретных ситуациях, на этом этапе, прежде всего, осуществляется знакомство со свойствами и при­знаками понятия; с его определениями, эквивалентными принятому; ис­пользуются изученные свойства и признаки понятия. На данном этапе уча­щиеся овладевают умениями переходить от понятия к его существенным свойствам и обратно, переосмысливать объекты с точки зрения других поня­тий, в частности учатся переосмысливать элементы чертежа с точки зрения другой фигуры и т. д., а также овладевают различными их совокупностями. На этом этапе важно использование блоков задач, объединенных какой-либо общей идеей.

В изучении любого учебного предмета, и особенно математики, важен этап систематизации материала, когда выясняется место данного понятия в системе других понятий. Это достигается следующими путями:

1)установлением связей между отдельными понятиями, теоремами;

2 (разно и дано во и систематизацией материала по различным основаниям;

3) обобщением понятия;

4)конкретизацией понятия.

Доступные ученикам связи между знаниями выясняются путем анали­за содержания учебного материала. В качестве средств представления ин­формации в сжатом виде используют таблицы, вопросники, графики, ри­сунки, схемы, обобщающие рефераты и т. д.

14. Этапы изуч теорем… При введении и изучении теорем выделяют обычно несколько основных этапов:

1)Мотивация изучения теорем.

2)Ознакомление с фактом,отраженным в содержании теоремы.

3)Ознакомл-е с формулировкой теоремы и выяснение смысла каждого слова в этой формулировке.

4)усвоение содержания теоремы.

5)запоминание формулировки теоремы.

6)ознакомл-е со способом докзва.

7)док-во теоремы.

8)применение доказанной теоремы.

9)установление связей доказанной теоремы с ранее изученными теоремами.

Указанные этапы отражают деятельностную природу теоремы и особенности матем-их знаний и их усвоение. Поэтому главным в изучении теоремы является не формальное заучивание содержания и док-ва теоремы,а открытие школьниками нового матем-го факта,самост-ые и творческие поиски различных способов обоснования этого факта и выработка умения прменять доказ-ое утв-е как к решению задач, так и к док-ву новых теорем. В школьной матем-ке исп-ся различные способы, методы док-ва теорем: анализ(восходящий анализ), синтез, метод док-ва от противного, комбинации разных методов. При синтетическом методе док-во обычно исходит из того,что дано в условии и используют ранее доказ-ые теоремы и аксиомы. При аналитическом док-ве исходят из истинности заключения, а затем с помощью цепочки логически верных рассуждений приходят к какому-либо известному факту,связанному с условием теоремы. Новым и отличным от других методов док-ва является метод док-ва от противного. Суть этого метода заключается в последовательной реализации следующих основных шагов: 1)сформулировать утв-е, к-е необходимо док-ть.

2) сформулировать утв-е, противоп-ое этому утв-ю.

3)предположить, что истинно утв-е, противоп-ое тому,что нужно док-ть.

4)получить вывод,к-ый противоречит какому-то очевидному или ранее известному факту.

5)сделать вывод о том, что предположение об истинности противоп-го утв-я является неверным.

6)сделать общий вывод.

При изучении и док-ве теорем разными методами следует придерживаться общей схемы и избегать формализма на каждом из этапов. С этой целью полезно разнообразить расположение чертежей на плоскости, менять обозначения рассматриваемых фигур и по возможности рассмотреть разные способы док-ва одной и той же теоремы. При этом полезно отходить от содержания учебника и новые способы док-ва в целях экономии учебного времени предлагать в качестве решения задач по готовым чертежам.

В практике преподавания геометрии некоторые этапы изучения теоремы могут быть опущены. Основными при этом и обязательными для исполнения являются этапы мотивации появления новой теоремы, рассмотрения фактов и ситуаций, к-е приводят к формулировке теоремы, составление и работа над формулировкой теоремы, усвоение содержания этой формулировки, выделении в этом содержании условия и заключения, построение чертежа, составление плана док-ва, совместная реализация этого плана, работа над усвоением формулировки и док-ва новой теоремы. Основными средствами достижения цели на каждом этапе являются специально подобранные учителем упражнения, факты, изображения и вопросы теоретического и прикладного характера.

15.роль и место задач… Активизации самостоятельной познавательной деятельности школьни­ков при изучении курса математики способствует эффективное использова­ние учебных задач, которые являются важнейшим средством формирования у школьников системы основных математических знаний, умений и навыков, ведущей формой учебной деятельности в процессе изучения математики, средством их математического развития.

Решая математические задачи, представленные в продуманной ма­тематической системе, учащиеся не только активно овладевают содержанием курса математики, но и приобретают умения мыслить творчески. Это прояв­ляется, например, в умении видоизменить заданную ситуацию с целью соз­дать условия применимости того или иного метода, приема; в умении изобретать новые приемы и эвристики для решения задач; в умении выделять и накапливать потенциально полезную информацию, в умении конструировать на ба(с данной задачи новые; в умении осуществлять самоконтроль, исследо­вать результат решения ит. п.

Функции задач в современном обучении математике. Практика обу­чения математике показывает, что любая конкретная задача, которая ставится и решается на том или ином этапе обучения, несет в себе самые разнообраз­ные функции, которые в данных конкретных условиях (определяемых либо Учеником, либо учителем, либо конкретными условиями обучения) просту­пают явно или скрыто. Поэтому не имеет смысла говорить о задаче, несущей какие-либо конкретные функции. Имеет смысл говорить о той или иной Функции, которую реализует данная учебная задача в качестве ведущей Функции (в данный конкретный момент).

Так как основными компонентами школьного обучения математике яв­ляются собственно обучение (понимаемое теперь как формирование у уча­щихся определенной системы математических знаний, умений и навыков), воспитание и развитие математического мышления учащихся, целесообразно в качестве ведущих функций задач считать обучающие, воспитывающие и развивающие.

Каждая из названных основных функций задач практически никогда не выступает изолированно от других (например, всякое обучение развивает, если оно поставлено правильно). Однако ведущая функция задачи, которая определена основной целью ее постановки перед учащимися, должна быть реализована в первую очередь. Несвоевременное акцентирование внимания учащихся на второстепенной функции той или иной задачи может отрица­тельно сказаться на эффективности ее использования на уроке.

Под обучающими следует понимать функции задач, направленные на формирование у школьников системы математических знаний, умений, на­выков (как предусмотренных программой, так расширяющих и углубляющих ее содержание), на различных этапах их усвоения.

Обучающие функции задач можно подразделить на функции общего, специального и конкретного характера. Под общими обучающими функция­ми понимаются функции задач, имеющие место в ходе обучения не только математике, но и всем предметам естественно-математического цикла, спе­циальные обучающие функции задач - это общие функции, соотнесенные только к обучению математике; конкретные обучающие функции задач по­нимаются как частные виды их специальных функций.

Ограничимся одним примером. Формирование у учащихся через задачи некоторого понятия (например, на уровне представлений о нем) - общая обу­чающая функция этих задач; формирование представления о натуральном числе - специальная обучающая функция задачи (или задач); формирование представления о числе нуль - конкретная обучающая функция задачи.

Под воспитывающими следует понимать функции задач, направленные на формирование научного мировоззрения, познавательного интереса и са­мостоятельности, навыков учебного труда, на воспитание коммунистических взглядов и убеждений, а также нравственных качеств.

Элементы воспитания школьников, осуществляемые через решение за­дач, также должны быть определенным образом запрограммированы учите­лем (и учебником); в процессе решения задач должно быть обеспечено их выявление и осознание самими школьниками (по возможности самостоя­тельно).

Предлагая учащимся задачу с избыточной или неполной информацией, мы воспитываем у них готовность к практической деятельности. Рассматри­вая изящное решение той или иной математической задачи, мы способствуем эстетическому воспитанию школьников.

Под развивающими функциями задач следует понимать те, которые на­правлены на развитие мышления учащихся (в частности, на формирование у них качеств научно-теоретического мышления), на овладение ими эффектив­ными приемами умственной деятельности.

К числу общих развивающих относятся функции задач, направленные на формирование у учащихся умений использовать известные методы научного познания как методы изучения (наблюдение, сравнение, опыт, анализ и син­тез, обобщение и специализацию, абстрагирование и конкретизацию); прово­дить умозаключения индуктивного и дедуктивного характера (в частности, правильно пользоваться аналогией и интуицией); правильно ставить мыслен­ный и практический эксперимент, высказывать гипотезы и проверять их;

К специальным развивающим функциям учебных математических задач могут быть отнесены, например, функции, направленные на формирование у учащихся следующих умений: математизировать простейшие ситуации жизненного характера, усматривать математические закономерности в окружающем мире; предсказывать (предполагать) с достаточной степенью правдоподобия существование того или иного математического факта, свойства или отношения; дедуктивно доказывать или опровергать то или иное математическое положение; Понятно, что перечень конкретных развивающих функций учебных ма­тематических задач слишком велик, чтобы быть охарактеризованным частичным перечислением.

К трем вышеуказанным функциям, реализуемым на учебных математических задачах, следует добавить еще одну важную функцию - контроли­рующую.

Под контролирующими следует понимать функции задач, направленные на установление уровней обученности и обучаемости, способности к само­стоятельному изучению математики, уровня математического развития уча­щихся и сформированности познавательных интересов.

Специальные контролирующие функции задач (имеющие весьма общий характер) могут быть сформулированы на основе соответствующих или спе­циальных обучающих, развивающих и воспитывающих функций.

К их числу можно, например, отнести: а) установление уровня обучен­ности и обучаемости; б) проверку способности (и умения) самостоятельно учиться; в) оценку способности к сообразительности; г) установления уровня развития того или иного компонента математического мышления или качества, присущего математическому стилю мышления;

16. Принципы проверки. Проверка должна быть целенаправленной, объ­ективной, всесторонней, регулярной и индивидуальной. Ц еленаправленность предполагает четкое определение цели каждой проверки. Постановка цели является звеном, определяющим всю последующую работу по обоснованию используемых форм, методов и средств проверки.

Цели проверки подразумевают ответы на вопросы: Что должно проверять­ся?

Кто должен опрашиваться? Какие выводы можно будет сделать на основе результатов проверки? Какой ожидается эффект от проведения проверки? При конкретизации целей проверки исходят из целей воспитания, развития и обу­чения учащихся, реализуемых на данном этапе обучения. Объективность проверки предупреждает случаи субъективных и ошибочных суждений, искажающих действительную успеваемость учащихся и снижающих воспитательное значение проверки. Объективность проверки зави­сит от многих факторов. Среди них выделяют следующие: четкое выделение об­щих и конкретных целей обучения, разработанность требований к знаниям, умениям и навыкам учащихся, обоснованность выделения и отбора объектов и содержания проверки, адекватность проверочных заданий целям проверки, обеспеченность методами обработки, анализа и оценивания результатов проверки, организованность проведения проверки и др. От решения этих во­просов во многом зависит объективность и качество проверки. Под всесторонностью проверки понимается охват большого по содержа­нию проверяемого материала: это и усвоение основных идей данного курса, и усвоение учебного материала по определенным содержательным, стержневым линиям курса, и знание учащимися отдельных и существенных, фактов, поня­тий, закономерностей, теорем, способов действий и способов деятельности. Яс­но, что при таком обилии проверяемого материала усложняется методика со­ставления заданий, так как предъявляются повышенные требования к методике выделения и отбора объектов проверки. Под регулярностью подразумевается систематическая проверка, органи­чески сочетающаяся с самим учебным процессом. Индивидуальность проверки требует проверки и оценки знаний, уме­ний и навыков каждого ученика. Формы проверки. 1) В соответствии с формами обу­чения на практике выделяются три формы проверки: индивидуальная, группо­вая (вместе с разновидностью - уплотненным опросом) и фронтальная (вме­сте с массовыми проверками). При индивидуальной проверке каждый школьник получает свое задание, которое он должен выполнить без посторонней помощи. Эта форма проверки целесообразна в том случае, если требуется выяснить индивидуальные знания, способности и возможности отдельных учащихся. Каждый ученик показывает результаты самостоятельной умственно-практической деятельности. Учи­тель выявляет правильность ответа, его последовательность, полноту и глубину, самостоятельность суждений и выводов, степень развития логическо­го мышления, культуру речи и т.п. Учитывая значение и многофункциональ­ность проверки, на практике стремятся охватить индивидуальной проверкой каждого ученика класса, причем неоднократно. (Из прежней практики обу­чения известны случаи, когда в целях экономии времени не опрашивались слабые учащиеся, в результате они заметно отставали в своем развитии и за­частую становились второгодниками.) В связи с этим индивидуальная про­верка всегда планируется: учитель намечает, когда, кого, с какой целью спросить, какие для этого использовать средства. При групповой проверке класс временно делится на несколько групп (от 2 до 10 учащихся) и каждой группе дается проверочное задание. В зависи­мости от цели проверки группам предлагают одинаковые задания или диф­ференцированные: проверяют результаты письменно-графического задания, которое ученики выполняли по двое, или практического, выполняемого ка­ждой четверкой учащихся, или проверяют точность, скорость и качество вы­полнения конкретного задания (в форме дидактической игры или соревнова­ния) по звеньям. Групповую форму организации проверки применяют при повторении с целью обобщения и систематизации учебного материала, при выделении приемов и методов решения задач, при акцентировании внимания учащихся на наиболее рациональных способах выполнения заданий, на лучшем из вариантов доказательства теоремы и т. п. Оценивание в баллах групповой работы производится не всегда, иногда достаточно слова, отзыва, рецензии. Хорошо продуманная групповая проверка создает благоприятные возможности для развития и воспитания учащихся.

При фронтальной проверке задания предлагаются всему классу. В процессе этой проверки изучается правильность восприятия и понимания учебного материала, качество словесного, графического, предметного оформ­ления, степень закрепления в памяти. Учителя интересует сознательность в от­ветах' учащихся, обоснованность и доказательность. Он наблюдает за аккурат­ностью выполнения заданий, вскрывает слабые стороны в знаниях учащихся, обнаруживает недочеты, пробелы, ошибки в работах и ответах учащихся. Это позволяем ему вовремя наметить меры по их преодолению и устранению.

17. Цели проверки и оценки знаний учащихся. Проверка знаний, умений и навыков учащихся является важной составной частью процесса обучения. Изу­чение характера усвоения учащимися учебного материала, оценка их знаний и умений, выявление уровня умственного развития и развития познавательных способностей - необходимая сторона процесса обучения, составляющая внут­реннее содержание каждого его звена. Основной целью проверки является оп­ределение качества усвоения учащимися программного материала, диагности­рование и корректирование их знаний и умений, воспитание ответственного отношения к учебной работе. Проверка знаний учащихся является очень слож­ным и крайне тонким процессом, как в теоретическом аспекте, так и в методи­ческом плане его практических разработок, как в психологическом отношении, так и в плане организационном. Это связано с тем, что на проверку возложена задача получения и накопления объективной информации для успешного управления обучением, развитием и воспитанием школьников.

Функции проверки. Для выяснения роли проверки в процессе обучения математике рассмотрим ее наиболее значимые функции: контролирующую, обучающую, диагностическую, прогностическую, развивающую, ориенти­рующую и воспитывающую.

С ущность контролирующей функции проверки заключается в выявлении состояния знаний и умений учащихся, уровня их умственного развития, в изу­чении степени усвоения приемов познавательной деятельности» навыков рационального учебного труда. При помощи контроля определяется ис­ходный уровень для дальнейшего овладения знаниями, умениями и на­выками, изучается глубина и объем их усвоения, сравнивается плани­руемое с действительными результатами. На этой же основе устанавливается эффективность используемых учителем методов, форм и средств обучения.

Обучающая функция проверки заключается в совершенствовании знаний и умений, их систематизации. Например, формирование навыков самокон­троля осуществляется, прежде всего, через проверку действий ученика пре­подавателем. В процессе проверки учащиеся повторяют и закрепляют изучен­ный материал. Они не только воспроизводят ранее изученное, но и применяют знания и умения в новой ситуации, мобилизуют определенные способы реше­ния задач, определенные приемы учебно-познавательной деятельности. Про­верка помогает учащимся выделить главное, основное в изучаемом, уточ­нить содержание рассматриваемого вопроса, сделать проверяемые знания и умения более ясными, точными и действенными Проверка способствует обоб­щению и систематизации знаний, выработке соответствующих данному этапу обучения умений и навыков.

Сущность диагностической функции проверки состоит в получении инфор­мации об ошибках, недочетах и пробелах в знаниях и умениях учащихся и порождающих их причинах. Здесь важно получить информацию не только о причинах данного состояния знаний учащихся, но и о степени влияния этих причин на качество знаний, умений и навыков учащихся. Результаты диагно­стических проверок дают материал об истоках затруднений учащихся в овла­дении учебным материалом, о числе, характере и причинах ошибок, что по­зволяет выбрать наиболее действенный индивидуальный подход, акцентиро­вать внимание на подбор достаточно полной системы упражнений, более действенной методики обучения и в общем плане уточнить направление даль­нейшего совершенствования содержания, методов и средств обучения.

Прогностическая функция проверки служит получению опережающей информации об учебно-воспитательном процессе. В результате такой про­верки получают основания для прогноза о ходе определенного отрезка учеб­ного процесса: достаточно ли сформированы конкретные знания, умения и на­выки для усвоения последующей порции учебного, материала (раздела, темы). Результаты прогноза используют для создания модели дальнейшего поведе­ния учащегося, допускающего сегодня ошибки данного типа или имеющего оп­ределенные пробелы в системе приемов познавательной деятельности. Прогноз во многом содействует получению верных выводов для дальнейшего планирования и осуществления учебного процесса. Прогноз помогает уточ­нить особенности усвоения учащимися данного учебного материала, его значе­ние для дальнейшего овладения программным материалом, провести с учащи­мися: достаточную подготовительную работу, уделить внимание развитию их познавательных способностей и интересов.

Развивающая функция проверки состоит в стимулировании познаватель­ной активности учащихся, в развитии их творческих сил и способностей. Про­верка обладает исключительными возможностями в развитии учащихся. В про­цессе проверки развиваются речь, память, внимание, воображение, воля и мышление школьников. Проверка оказывает большое влияние на развитие и проявление таких качеств личности, как способности, склонности, интересы, потребности, отношения и др. Оказывая влияние на развитие учащихся* про­верка одновременно представляет богатую информацию об уровне этого развития.

Сущность ориентирующей функции проверки - в получении информации о степени достижения цели обучения отдельным учеником и классом в целом -насколько усвоен и как глубоко изучен учебный материал. Проверка ориенти­рует учащихся в их затруднениях и достижениях. Вскрывая пробелы, ошибки и недочеты учащихся, она указывает им направления приложения сил по совершенствованию знаний и умений. Проверка помогает учащемуся лучше узнать самого себя, оценить свои знания и возможности. Проверка ориентирует и учителя в недочетах и достижениях его преподавания. Она со­действует выявлению и обобщению передового педагогического опыта и слу­жит также цели государственного контроля за работой школ и учителей.

Сущность воспитывающей функции проверки заключается в воспита­нии у учащихся ответственного отношения к учению, дисциплины, аккурат ности, честности. Проверка побуждает учащихся более серьезно и регулярно контролировать себя при выполнении заданий, она является условием и стимулом воспитания твердой воли, настойчивости, привычки к регулярному труду.

Выделенные функции проверки подчеркивают ее роль и значение в процессе обучения. В учебном процессе сами функции проявляются в разной степени и в различных сочетаниях. Это зависит в основном от целевого на­значения и вида проверки, причем цели проверки обусловливаются планируе­мыми на данном этапе обучения дидактическими, развивающими и воспиты­вающими целями и в конкретном виде проверки воплощаются определенные их сочетания. Реализация выделенных функций на практике делает проверку более эффективной, а вместе с ней эффективней становится и сам учеб­ный процесс.

18.сист подход к понятию задачи.Задача и ее компоненты... Если термин «за­дача» понимать достаточно широко (в частности, включить в число задач и любое вычислительное упражнение, и любую теорему, доказательство кото­рой предстоит установить или изучить; если считать задачей установление тех или иных признаков изучаемого математического понятия и отбор среди них тех, которые характеризуют это понятие и т.д.), то станет понятным вы­сказывание о том, что «занятие математикой состоит в решении задач». По­этому, прежде чем говорить о том, какие математические задачи следует рас­сматривать в школьном курсе математики и как обучать школьников реше­нию задач, как обучать математике через задачи и т.п., нужно уточнить, что следует понимать под термином «задача».

В проблемной ситуации (равно как и в задаче) выделим следующие ос­новные компоненты: а) начальное состояние (У) - характеристику проблем­ное™ системы Я (для математических задач - условие задачи); б) конечное состояние (3) - характеристику стационарности системы Я. (для математиче­ских задач - заключение задачи); в) решение (Р) - переход от начального со­стояния к конечному (для математических задач - преобразование условия "«дачи для нахождения требуемого заключением искомого); г) базис решения '()) - теоретическую или практическую основу перехода от начального состояния к конечному посредством данного решения (для математических за­дач - теоретическое обоснование решения). Символически совокупность вы­шеуказанных компонентов выразим записью УОРЗ.

Проиллюстрируем сказанное выше на простейшем примере математиче­ской задачи.

Решить уравнение 123 + 2х = 197.

а) Условие задачи (данные элементы, свойства и связи между ними) со­стоит в том, что неизвестно второе слагаемое, тогда как первое слагаемое и сумма (123 и 197) известны; кроме того, второе слагаемое есть произведение известного числа (2) на неизвестное число;

б) цель задачи (результат решения - неизвестные элементы, свойства и связи между ними) состоит в определении такого числового значения х, ко­торое обращает это условное числовое равенство в верное;

в) решение задачи (способ достижения цели, перехода от условия к ре­зультату) состоит в следующей цепочке последовательных преобразований: 123 + 2х = 197, 2х = 197 — 123 о 2х =74 , х = 74:2, х = 37;

г) базис решения (его теоретическая основа) выражен известной зависи­мостью между компонентами и результатом сложения и умножения нату­ральных чисел (или же им являются основные свойства эквивалентности уравнений и их следствия).

Будем считать математическими все задачи, в которых переход от со­стояния У к состоянию 3 осуществляется математическими средствами, т.е. математическим характером компонентов О и Р. Если все четыре компонента (У, О, Р, 3) - математические объекты, то назовем задачу чисто математиче­ской; если математическими являются только компоненты О и Р, то назовем ее прикладной математической задачей.

Типология учебных задач. На основе рассмот­ренной модели общего понятия задачи и ее основных компонентов можно построить дидактически направленную модель типологических особенностей задачи, зависящих от того, на каком этапе обучения эта задача предъявлена учащимся, какими знаниями и опытом обладают школьники в момент ее предъявления, в какой форме выступает задача и т. д.

Будем считать, что проблемный характер заданной системы определяет­ся тем, какие из ее основных компонентов (условие, заключение, решение, обоснование решения) неизвестны субъекту (школьнику) в момент предъяв­ления ему данной задачи.

Будем называть стандартной такую учебную задачу, у которой четко определено условие, известен способ решения и его обоснование, а также упражнение на воспроизведение известного. Назовем задачу обучающей, ес­ли в ней неизвестен (или плохо определен) один из вышеуказанных основ­ных компонентов; если неизвестны какие-либо два компонента, задачу назо­вем поисковой, а три - проблемной.

Эффективность использования математических задач в качестве ведуще­го средства привития учащимся элементов математической культуры и ос­новного средства обучения математике непосредственно зависит от того, насколько учащиеся владеют определенной совокупностью мыслительных умений, составляющих так называемое умение решать задачи.

Основные этапы решения задачи; обучение эвристической деятель­ности на каждом из этапов решении задачи. В методике математики об­щепринято деление процесса решения учебной задачи на четыре основных этапа (осмысление условия задачи, составления плана решения, осуществле­ние плана решения, изучение найденного решения).

На первом этапе процесса решении математической задачи имеют место осознание условия и требования задачи, усвоение и разработка отдельных элементов условия (или элементов цели), поиск необходимой информации в сложной системе памяти, соотнесение условия к заключения задачи с имею­щимися знаниями и опытом и 1. д.

На втором этапе происходят целенаправленные пробы различных сочетаний из данных и искомых, попытки подвести задачу под известный тип, выбор наиболее приемлемого в данных условиях метода решения (из извест­ных), выбор стратегии решения, поиск плана решения и его корректировка на основе предварительной апробации, соотнесения с условием задачи и интуи­тивных соображений, фиксирование определенного плана решения задачи и т.д.

На третьем этапе проводится практическая реализация плана решения во всех его деталях с одновременной корректировкой через соотнесение с ус­ловием и выбранным базисом, выбор способа оформления решения и оформ­ление решения, запись результата и т. д.

Па четвертом этапе фиксируется конечный результат решения, прово­дится критический анализ результата (его прикидка и проверка), поиск путей рационализации решения, исследование особых и частных случаев, выявле­ние существенного (потенциально полезного), систематизация новых знании

и опыта и т. д.

19. Роль математического мышления в процессе обучения. Мышление -это социально обусловленный, неразрывно связанный с речью психический процесс поисков и открытия существенно нового, процесс опосредствованно­го и обобщенного отражения действительности в ходе ее анализа и синтеза. Мышление возникает на основе практической деятельности из чувственного познания и далеко выходит за его пределы.

В процессе мышления, используя данные ощущений, восприятий и представлений, человек вместе с тем выходит за пределы чувственного познания, т. е. начинает познавать такие явления внешнего мира, их свой­ства и отношения, которые непосредственно вовсе не даны в восприятиях и потому непосредственно вообще не наблюдаемы.

Мышление имеет целенаправленный характер. Необходимость в мыш­лении возникает, прежде всего, тогда, когда в ходе жизни и практики перед человеком появляются новая цель, новая проблема, новые обстоятельства и условия деятельности. Мышление - это искание и открытие нового. В тех случаях, где можно обойтись старыми, уже известными способами дейст­вия, прежними знаниями и навыками, проблемной ситуации не возникает и потому мышления попросту не требуется.

Качества научного мышления. Индивидуальные особенности мышления у различных людей проявляются прежде всего в том, что у них по разному складывается соотношение разных и взаимодополняющих видов и форм мыслительной деятельности. К индивидуальным особенностям мышления относятся также и другие качества познавательной деятельности: самостоятельность, гибкость, быстрота мысли.

Самостоятельность мышления проявляется, прежде всего, в умении! увидеть и поставить новый вопрос, новую проблему и затем решить их' своими силами. Творческий характер мышления отчетливо выражается именно в такой самостоятельности.

Гибкость мышления заключается в умении изменять намеченный вначале путь (план решения задач, если он не удовлетворяет тем услови­ям проблемы, которые постепенно вычленяются в ходе ее решения и ко­торые не удалось учесть с самого начала.

Быстрота мысли особенно нужна в тех случаях, когда от человека требуется принимать определенные решения и очень короткий срок (на­пример, во время боя, аварии). Но она нужна также и школьникам. Так, некоторые хорошие ученики даже в старших классах, когда их вызывают к доске решать новую для них задачу, смущаются и теряются.

все перечисленные и многие другие качества мышления тесно связаны с основным ею качеством, или признаком. Важнейший признак всякого мышления независимо от его отдельных индивидуальных особенностей – умения выделять существенное, самостоятельно при­ходить ко всем новым обобщениям

Математическое мышление имеет свои специфические черты и особенности, которые обусловлены спецификой изучаемых при этом объектов, а также спецификой методов их изучения. Однако для него характерны псе качества научного мышления, названные выше, а также оригинальность, глубина. целенаправленность, рациональность, широта (обобщенность, доказательность. четкость и лаконичность речи и записей).

Основные виды математического мышлении. Все эти качества мышления сильно коррелируют друг с другом и часто выступают в органичном единстве. Совокупность всех указанных качеств мышления называют научным стилем мышления, дня которого характерны следующие формы мышления: конкретное и абстрактное мышление, функциональное и интуитивное мышление.

Так как н процессе обучения математике обычно используются так на­зываемые конкретно-индуктивные и абстрактно-дедуктивные методы обуче­ния, то говорят о необходимости формирования конкретного и абстрактно­го мышления школьников.

Конкретное (предметное) мышление - это мышление в тесном взаимодействии с конкретной моделью объекта.

Различают две формы конкретного мышления:

1) неоперативное конкретное мышление (наблюдение, чувственное восприятие) проявляется при усвоении нового материала на уровне представле­ний (пропедевтический уровень) при использовании наглядных и ТСС;

2) оперативное конкретное мышление (непосредственные действия с конкретен моделью объекта), способствует познанию математических абст­ракций.

В старших классах мера конкретного в процессе познания убывает в то время как само конкретное меняет свою форму, на смену конкретному приходит абстрактное, которое должно выступать как целесообразное обобще­ние конкретного.

Содействуя развитию у учащихся неоперативного конкретного мышле­ния, полезно помнить о том, что постоянное обращение к наглядным пред­ставлениям может иногда оказаться вредным. Так. чрезмерное увлечение на­глядностью в преподавании начал стереометрии может затормозить формирование у школьников пространственного воображения.

Абстрактным называют мышление, которое характеризуется умением мысленно отвлечься от конкретного содержания изучаемою объекта в пользу его общих свойств, подлежащих изучению.

Различают следующие виды абстрактного мышления:

1) аналитическое мышление, которое характеризуется четкостью от­дельных этапов в познании, полным осознанием как его содержания, так и применяемых операций (явно проявляется и аналитическом способе доказа­тельства теорем, решением задач методом уравнений, исследованием резуль­тата решения задачи в т.д.);

2) логическое мышление, которое характеризуется умением выводить следствия из данных предпосылок, обобщать полученные выводы, предсказывать (прогнозировать) результаты и т.п.;

3) пространственное мышление характеризуется умением мысленно конструировать пространственные образы и должны быть выполнены над самими объектами.

Формирование математического мышления школьников полагает, таким образом, целенаправленное развитие на предмете математики всех ка­честв, присущих естественнонаучному мышлению.