12. Лемма о вложенных отрезках.

Лемма. Для любой последовательности вложенных отрезков , ( ), их пересечение не пусто.

Более того, если длины этих отрезков стремятся к нулю , то это пересечение состоит из одной точки.

Доказательство. Из определения о вложенных отрезках.

, что для любого  , следовательно, существует  

, что для любого  , и существует  

Так как мы доказываем единственность точки, следовательно, пределы последовательностей в этой точке   и   равны. Из этого следует, 

Как нам известно  , а  , то 

Что и требовалось доказать.

13. Подпоследовательности. Теорема Больцано-Вейерштрасса об ограниченной последовательности.

14. Частичные пределы. Верхний и нижний пределы.

15. Фундаментальные последовательности. Критерий Коши сходимости числовой последовательности.

16. Предел функции: два определения и их эквивалентность. Теоремы о пределе функции, вытекающие из теорем о пределе числовой последовательности.

17. Критерий Коши существования предела функции.

18. Локальные свойства функций имеющих предел.

19. Теорема о пределе суперпозиции.

20. Односторонние пределы.

21. Бесконечные пределы и пределы в бесконечности.

22. Бесконечно малые и бесконечно большие функции.

23. Символы о-малое и О-большое, эквивалентные б.м. и б.б.

24. Замечательные пределы

25. Асимптоты графика функции

26. Понятие непрерывной функции. Простейшие свойства непрерывных функций, в том числе, вытекающие из свойств предела.

27. Точки разрыва функции и их классификация. Примеры: функция Дирихле и другие примеры

28. Равномерно непрерывные функции. Теорема Кантора.

29. Теоремы Больцано-Коши о промежуточных значениях непрерывной функции.

30. Теоремы Вейерштрасса о непрерывных на отрезке функциях.

31. Критерий непрерывности монотонной функции. Теорема об обратной функции к непрерывной и строго монотонной функции.

32. Понятие производной, ее геометрический и механический смысл. Уравнение касательной к графику функции в данной точке.

33. Дифференцируемые функции. Понятие дифференциала.

34. Арифметические операции с дифференцируемыми функциями.

35. Дифференцирование сложной функции

36. Дифференцирование обратной функции.

37. Дифференцирование элементарных функций. Таблица производных.

38. Локальный экстремум функции. Теорема Ферма.

39. Теоремы о среднем значении для дифференцируемых функций: теоремы Роля, Лагранжа и Коши.

40. Производные и дифференциалы высших порядков.

41. Формула Тейлора для многочлена.

42. Локальная формула Тейлора (формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано).

43. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа и в форме Коши.

44. Разложение элементарных функций по формуле Тейлора.

45. Правило Лопиталя.

46. Условия монотонности функции.

47. Условия экстремума функции.

48. Условия выпуклости функции.

49. Точки перегиба графика функции.

50. Множество вещественных чисел (натуральные, целые, рациональные и иррациональные числа, модуль (абсолютная величина вещественного числа) и его свойства.

51. Комплексные числа.

Структура билета

1. Вопрос из раздела введение и (или) из раздела комплексные числа

2. Вопрос о пределе последовательности или о числовых рядах.

3. Вопрос о пределе функции

4. Вопрос о непрерывности функции

5. Вопрос из раздела дифференциальное исчисление

Примечание 1. Порядок следования вопросов в билете может быть произвольным.

Примечание 2. Каждый вопрос в билете разбивается на три подвопроса: а), б) и в), при этом в подвопросе а) требуется дать определения указанных в нем понятий, в подвопросе б) – сформулировать то или иное утверждение (теорему) и привести его доказательство, а в подвопросе в) – решить одну или две задачи.

Примечание 3. За правильный и полный ответ на каждый из подвопросов первых четырех указанных выше вопросов начисляется по одному баллу. За правильный и полный ответ на каждый из подвопросов пятого вопроса начисляется два балла. Таким образом, разделу дифференциальное исчисление,с учетом его значимости и проведенного ранее коллоквиума, на экзамене отдается приоритет по сравнению с другими изученными в первом семестре разделами курса "математический анализ". За неправильные (содержащие ошибки) ответы баллы не начисляются. Правило начисления баллов за неполные ответы определяется экзаменатором по совокупности качества ответов на все вопросы билета, а также качества самих вопросов. При суммировании баллов за неполные ответы их сумма, как правило, уменьшается в полтора-два раза. Итоговая оценка на экзамене по сумме набранных на экзамене баллов и бонусных баллов полученных за коллоквиум и практические занятия в семестре выставляется в соответствии со следующей таблицей

Набранные баллы	4 и менее	От 5 до 7	От 8 до 10	От 11 до 12	От 13 до 14	15 и более
Итоговая оценка	Неудовл.	Посредств.	Удовл.	Хорошо	Очень хорошо	Отлично

Примечание 4. Бонусы за практические занятия начисляются в зависимости от оценки, выставленной преподавателем, ведущим эти занятия, в соответствии со следующей таблицей

Оценка за практику	Неуд.	Удовл.	Хорошо	Отлично
Бонусы на экзамене	Нет (0)	2	4	6

Студент имеет право отказаться от начисленных за практические занятия бонусов. В случае отказа от их начисления он на экзамене решает задачи из третьих подвопросов каждого из пяти экзаменационных вопросов. Начало их решения в экзаменационном листе служит подтверждением отказа от соответствующих бонусов. Если же студент соглашается с начисленными за практические занятия бонусами, то он просто не решает соответствующие задачи (не отвечает на третьи подвопросы).

Примечание 5. Перечисленные выше вопросы 1-50 к экзамену могут разукрупнятся. Например, вопрос 39 может быть разбит на два 39а. Теорема Ролля и 39б. Теоремы (о среднем) Лагранжа и Коши. Далее, вопрос 51. будет разбит на следующие вопросы: 51а. Определение комплексных чисел и алгебраических операций с ними (сложение, вычитание, умножение, деление), алгебраическая форма записи к.ч. 51б. Тригонометрическая форма записи к.ч. , умножение к.ч. в тригонометрической форме. 51в. Извлечение корня -ой степени из к.ч. ......... и тому подобное. Как правило разукрупнение будет проводится на основе деления параграфов конспекта леций (посвященных изложению соответствующих вопросов) на пункты, как это делается в том же конспекте.