Программа (вопросы)

по МА(Э) 1 сем (2011-2012гг)

1. Множества и действия над ними.

2. Понятие отображения, образ и прообраз множества при отображении, суперпозиция отображений, сужение отображения, график отображения.

Пусть и – произвольные множества. Правило , по которому каждому элементу ставится в соответствие определенный, и при том единственный, элемент называется отображением множества во множество , при этом множество называется областью определения отображения , а множество –областью значений этого отображения.

Если элемент отображением сопоставляется элементу , то элемент называют образом элемента при отображении или значением отображения в точке и обозначают , при этом пишут , а сам элемент , который отображением сопоставляется элементу, называют прообразом элемента y при отображении .

(Подчеркнем, что образ элемента при отображении (по определению отображения) определяется однозначно, а прообразов элемента при том же отображении может быть несколько. Множество всех прообразов элемента при отображении обозначается ).

Множество называется графиком отображения .

Пусть задано отображение и множество . Определим новое отображение , полагая, что . Так определенное отображение называется сужением отображения на множество (обозначается ).

Образом множества при отображении называют множество .

Отображения и называют равными друг другу и пишут , если и .

Отображение будем называть

а) функцией, если (в частности, отображение , где – произвольное, необязательно числовое множество, является функцией)

б) числовой функцией или функцией одной переменной , если и .

Пусть даны отображения и . Новое отображение , определенное по следующему правилу: называют суперпозицией отображений и .

Суперпозицию отображений и обычно обозначают символом (таким образом, ), при этом если оба отображения и являются функциями, то их суперпозицию называют сложной функцией.

3. Сюрьективные, инъективные и биективные отображения. Обратное отображение.

Отображение называется

а) сюръективным или отображением “на”, если ;

b) инъективным или взаимно однозначным отображением «в», если из того, что следует, что (или, равносильно, если из того, что следует, что );

в) биективным или взаимно однозначным отображением «на» или также взаимно однозначным соответствием, если оно одновременно инъективно и сюръективно.

Пусть отображение устанавливает взаимно однозначное соответствие между множествами и , т.е. является биективным. Тогда можно определить новое отображение , полагая, что его образом при отображении является тот единственный элемент , образом которого при отображении является соответствующий элемент : .

Так определенное отображение g называется обратным к отображению и обозначается , т.е. .

Отображение такое, что , , называется тождественным отображением множества в себя.

Непосредственно из определения обратного отображения следует, что

а) обратное отображение биективно;

б) имеют место равенства , т.е. и , т.е. ;

в) обратным к отображению является отображение , т.е. и, следовательно, отображения и являются взаимно обратными.

Если отображение является числовой функцией и имеет обратное отображение , то это обратное отображение называется обратной функцией (к функции ).