13) Частицы в одномерной прямоугольной потенциальной «яме». Волновая функция описывающая состояние такой частицы. Энергия частицы двигающаяся в потенциальной яме.

Потенциальная «яма»-область пространства с нулевой потенциальной энергией окруженной областями с бесконечно большим потенциальной энергии. Если такое изменение энергии имеет место только вдоль одной координатной оси то потенциальная «яма» называется одномерной U(x)={0, 0<x<l; ∞, x≤0, x≥l. l-ширина потенциальной ямы. С физической точки зрения бесконечно больное потенциальной энергии соответствует бесконечно большим силам действия на частицу на границу потенциальной ямы. Благодаря этой силы частица не может покинуть яму её волновая функция за пределами ямы обращается в ноль. Поскольку волновая функция должна быть не прерывна то её значения на границе ямы должно быть тоже нулевым. Вне ямы: x≥l, x≤0; ψ=0. На границе ямы: ψ(0)=0; ψ(l)=0. Внутри ямы волновая функция отлична от нуля и она является решением уравнения Шредингера для стационарных состояний с учетом равенства нулю с учетом потенциальной энергии. В яме: (в области 0<x<l) ψ≠0, d²ψ/dx²+2mEψ/П²=0; E=E_k=p²/2m=П²k²/2m; d²ψ/dx²+k²ψ=0-уравнение Шредингера для частиц в потенциальной яме. Ψ(х)=Asin(kx+α)-решение уравнения Шредингера. Значение постоянных A,k, и α находится применением граничных условий и условий нормировки волновой функции. Ψ(х)=(√2/l)sin(П_nx/l). Вероятность нахождения частицы той или иной области потенциальной ямы. W=∫_x1^x2|ψ(x)|²dx=2/l* ∫_x1^x2sin²(П_nx/l)dx Энергия частицы находящейся в потенциальной яме определяет значение волнового числа которое в свою очередь принимает дискретное значение E=П²k²/2m; k=Пn/l т.е. энергия частицы бесконечно глубокой потенциальной яме является дискретной. E=П²ħ²n²/2ml²-энергия частицы находящейся в потенциальной яме. Величина целого числа n-определяющего значение энергии частицы соответствует номеру энергетического уровня и называется главным квантовым числом. Состояние частицы с наименьшей энергией (n=1) называется основным энергетически м состоянием. Все остальные состояния называются возбуждёнными. Волновая функция частицы находящейся в потенциальной яме на границе ямы обращается в ноль. Эта функция соответствует волне которая обращается в 0 на расстояние кратном целому числу половин длин волн 2Пl/λ=Пn; l=λn/2

14) Потенциальный барьер бесконечной ширины. Прохождение частицы над и сквозь потенциальный барьер бесконечной ширины. Коэффициенты отражения и прохождения.

U(x)={0, x<0; U₀, x≥0; U₀-величина потенциального барьера. Область 1: d²ψ/dx²+2mEψ/ħ²=0;-уравнение Шредингера. Ψ(х)=A₁e^ikx+B₁e^-ikx ; A₁e^ikx-соответствует волновой функции частицы движущейся к барьеру. A₁-Определяет амплитуду соответствующий волны Деброля. B₁e^-ikx-соответствует частице отражённой от барьера. B₁- определяет амплитуду отраженной от барьера волны Деброля. Область 2: d²ψ/dx²+2m(E-U₀)ψ/П²=0; вид решения этого уравнения определяется соотношением между полной энергией частиц и высотой потенциального барьера. E-полная энергия, U₀-высота потенциального барьера. q=√2m(E-U₀)/П²

E≥U₀; ψ(x)= A₂e^iqx+B₂e^-iqx ; A₂e^iqx –соответствует частице прошедшей над барьером в области с координатой х>0. A₂-Определяет амплитуду соответствующий волны Деброля. B₂e^-iqx-должно обращаться в ноль, поскольку за барьером не может быть частицы двигающейся в сторону убывания координаты х. ψ(x)= A₂e^iqx ; ψ(x)={ A₁e^ikx+B₁e^-ikx ; A₂e^iqx. x<0, x>0 Амплитуды отраженной волны Деброля и волне Деброля прошедшей над барьером определяет через амплитуду падающей через барьер волны с учетом угловой непрерывности волновой функции и её первой производной, т.е угловая функция для первой функции должна равна 2-й функции в той же самой координате B₁=(k-q)A₁/(k+q); A₂=2kqA₁/(k+q) Т.О. амплитуда отраженной от барьера волны отлична от нуля т.е. частица энергия которой превосходит высоту потенциального барьера может от него отразиться. Вероятность отражения частицы от потенциального барьера характеризуется коэффициентом отражения равным отношению квадратов модулей амплитуды волны прошедшей сквозь барьер и волны падающей на барьер. R-коэффициент отражения. R=|B₁|²/|A₁|²; R=|k-q/k+q|²; R=|√E-√(E-U₀)/√E+√(E-U₀)|² Вероятность прохождения частицы над барьером характеризуется коэффициентом прохождения или коэффициентом прозрачности. Д-коэффициент прозрачности. R+Д=1; Д=1-R.