Например:

Решение:

Ответ:

6. Сложение двух свободных векторов можно осуществлять как по правилу параллелограмма, так и по правилу треугольника.

Правило треугольника. Для сложения двух векторов и по правилу треугольника оба эти вектора переносятся параллельно самим себе так, чтобы начало одного из них совпадало с концом другого. Тогда вектор суммы задаётся третьей стороной образовавшегося треугольника, причём его начало совпадает с началом первого вектора, а конец с концом второго вектора.

Правило параллелограмма. Для сложения двух векторов и по правилу параллелограмма оба эти вектора переносятся параллельно самим себе так, чтобы их начала совпадали. Тогда вектор суммы задаётся диагональю построенного на них параллелограмма, исходящей из их общего начала.

А модуль (длину) вектора суммы |u+v| = u+v определяют по теореме косинусов

Сложение двух скользящих векторов определено лишь в случае, когда прямые, на которых они расположены, пересекаются. Тогда каждый из векторов переносится вдоль своей прямой в точку пересечения этих прямых, после чего сложение осуществляется по правилу параллелограмма.

Сложение двух фиксированных векторов определено лишь в случае, когда они имеют общее начало. Их сложение в этом случае осуществляется по правилу параллелограмма

Векторным произведением вектора на вектор называется вектор , удовлетворяющий следующим требованиям:

длина вектора равна произведению длин векторов и на синус угла φ между ними

вектор ортогонален каждому из векторов и

вектор направлен так, что тройка векторов является правой.

8. Ортогона́льность — понятие, являющееся обобщением перпендикулярности для линейных пространств с введённым скалярным произведением.

Критерии:

Скалярное произведение векторов должно быть равно нулю.

Для векторов на плоскости a (A1;A2) и b (B1;B2) :A1·B1+A2·B2 = 0.

То же самое для векторов в трехмерном пространстве: необходимо и достаточно, чтобы выполнялось

A1·B1+A2·B2+А3·В3 = 0

Вычисление угла между векторами:

9. Если два вектора а и b определены своими прямоугольными декартовыми координатами, а говоря точнее — представлены в ортонормированном базисе:

а система координат правая, то их векторное произведение имеет вид

Для запоминания этой формулы удобно использовать определитель:

Если система координат левая, то их векторное произведение имеет вид

Для запоминания, аналогично:

8. Ортогональные преобразования переводят один ортонормированный базис евклидова пространства в другой.

Необходимым и достаточным условием ортогональности линейного преобразования является равенство

где — сопряжённое, а — обратное преобразования.

В ортонормированном базисе ортогональным преобразованиям соответствуют ортогональные матрицы. Таким образом, критерием ортогональности матрицы является равенство равенство, где — транспонированная, а — обратная матрицы.

Собственные значения ортогональных преобразований равны по модулю 1, а собственные векторы, отвечающие различным собственным значениям, ортогональны.

Определитель ортогонального преобразования равен 1 или − 1.

В произвольном n-мерном евклидовом пространстве ортогональное преобразование является композицией конечного числа отражений.

Множество всех ортогональных преобразований евклидова пространства образует группу относительно операции композиции — ортогональную группу данного евклидова пространства. Собственные ортогональные преобразование образуют нормальную подгруппу в этой группе.