3. Логарифмическое дифференцирование.

Логарифмическое дифференцирование – метод нахождения произ-

водной функции, основанный на ее предварительном логарифмировании.

Пример 1. Найти производную функции .

Решение. Логарифмируя обе части равенства, имеем:

.

Дифференцируем обе части последнего равенства:

; .

Отсюда

.

Рассматриваемый метод позволяет дифференцировать сложно – показательную функцию вида , где u и v дифференцируемые по х

функции.

Пример 2. Найти производную функции .

Решение. Логарифмируем данную функцию: .

Дифференцируем обе части последнего равенства:

.

Отсюда

.

4. Дифференцирование неявных функций

Переменная у называется неявной функцией от аргумента х, если

зависимость между ними задана уравнением F(x; y)=0.

Для нахождения производной у′ неявной функции у, определяемой

уравнением F(x; y)=0, нужно продифференцировать по переменной х обе

части этого уравнения (считая здесь у функцией от х) и разрешить полу-

ченное уравнение относительно у′.

Пример . Найти производную у′ функции, заданную уравнением

.

Решение. Дифференцируем обе части уравнения по переменной х,

считая у функцией от х:

.

Решим это уравнение относительно у′.

; .

5. Дифференциал функции.

Пусть функция дифференцируема в точке х.

Тогда .

Так как переменная величина отличается от своего предела на бесконечно малую величину, то , где α→0 при ∆х→0. Тогда

, то есть приращение функции ∆у состоит из двух слагаемых, первое из которых является главной частью этого приращения.

Определение. Дифференциалом dy функции в точке х назы-

вается главная, линейная относительно ∆х часть у′∆х приращения ∆у

функции, то есть

. (1)

Так как , то

. (2)

Пример. Найти дифференциал функции .

Решение. Исходя из определения дифференциала, имеем:

.

6. Дифференцирование функций, заданных параметрически.

Пусть зависимость между переменными х и у задается введением

вспомогательной переменной t (параметр) уравнениями .

Если функции x(t) и y(t) – дифференцируемые и x′(t) ≠ 0, то произ-

водную можно найти как отношение дифференциалов dy и dx, то

есть

.

Пример. Найти производную функции у, заданной уравнениями

.

Решение. .

7. Производные и дифференциалы высших порядков.

Пусть функция дифференцируема на интервале и имеет на нем дифференцируемую производную первого порядка .

Производная от производной первого порядка называется производ-

ной второго порядка от функции и обозначается у^″, или , или .

Подобным образом, производная от производной второго порядка

называется производной третьего порядка и обозначается у″′, или ,

или .

В общем случае, для производной n – го порядка имеем

.

Пример . Найти производную второго порядка от функции

у = lnsin3x.

Решение. Дважды дифференцируем данную функцию.

; .

Определение. Дифференциалом второго порядка d²y функции называется дифференциал от дифференциала dy, то есть

.

Подобным образом, дифференциал n-го порядка равен

.