
- •Основные определения и понятия.
- •Элементарные функции комплексных переменных.
- •§2. Дифференцирование и интегрирование функций комплексных переменных.
- •1. Производная функции комплексных переменных.
- •2. Условия Коши-Римана.
- •§3. Аналитические функции.
- •Интеграл по контуру от функции комплексных переменных.
- •Интегральная теорема Коши.
- •Интеграл с переменным верхним пределом и неопределенным интегралом.
- •Интегральная формула Коши.
- •Бесконечная дифференцируемость аналитических функций. Интегральные формулы для производных.
- •§4. Ряды в комплексной области.
- •§5. Комплексная форма ряда Фурье. Интеграл Фурье.
- •Объединим 3 формулы: (2). Коэффициент - амплитуда.
- •Тригонометрическая и вещественная формы интеграла Фурье.
- •Тригонометрическая форма преобразования Фурье. Sin – и Cos – преобразования Фурье.
§5. Комплексная форма ряда Фурье. Интеграл Фурье.
Комплексная форма тригонометрического ряда Фурье.
Пусть
(1)
– ряд Фурье в комплексной форме.
Объединим 3 формулы: (2). Коэффициент - амплитуда.
- волновые числа, совокупность
всех волновых чисел называется спектром,
гармоники.
2. Комплексная форма интеграла Фурье.
Пусть
-
кусочно-непрерывная на R,
и абсолютно интегрируема на этом
множестве, т.е. сходится интеграл
.
Совокупность таких функций обозначают
- линейное пространство.
Для любого промежутка
,
может быть разложено в ряд Фурье. Запишем
этот ряд, подставив в него коэффициенты
из (2):
.
Преобразуем ее следующим образом:
.
(3).
Правая часть равенства (3) представляет
собой интегральную сумму функции
.
Так как
интегрируема на промежутке
,
то l можно выбрать
сколь угодно большим. При
(4),
интеграл в правой части равенства (4) – интеграл Фурье в комплексной форме
(5).
(6).
Функция
называется преобразованием Фурье
функции
.
В свою очередь
-
обратное преобразованием Фурье.
То есть, преобразование Фурье представляет
собой отображение, заданное на множестве
функций, т.е. это оператор.
играет такую же роль, как и коэффициент Фурье и называется спектральной функцией.
Непериодические функции соответствуют непериодическим спектрам.
Тригонометрическая и вещественная формы интеграла Фурье.
Преобразуем интеграл Фурье, использую формулу Эйлера:
(7) - тригонометрическая форма
интеграла Фурье.
Формула (7) упрощается, так как
-
является четной по U,
-
нечетная. После вычисления 1 интеграла
по t свойство
четности/нечетности сохраняется.
Вычислив 2 интеграл по U,
который вычисляется по симметричному
промежутку
с учетом четности / нечетности слагаемых
можно представить в следующем виде:
(8) - интеграл Фурье в
вещественной форме.
Преобразуем уравнение (8) в следующий
вид
(9), где
.
.
Тригонометрическая форма преобразования Фурье. Sin – и Cos – преобразования Фурье.
Используя формулу Эйлера для представления экспоненты комплексного числа, преобразования Фурье можно записать в виде:
.
Если
-
нечетная, то интегралы которые
содержат Сos будут = 0. Тогда
.
Умножим первое из уравнений на i и введем обозначения.
(10)
(11)
(10) и (11) Cos – преобразования Фурье.
Если
-
четная, то интегралы которые
содержат Sin будут = 0. Тогда
(12)
(13)
(12) и (13) Sin – преобразования Фурье.
Пример.
|
|
Найти Сos и Sin преобразования Фурье.
.