![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Основные понятия
- •Скалярное произведение векторов и его свойства
- •7.1. Определение векторного произведения
- •7.2. Свойства векторного произведения
- •7.3. Выражение векторного произведения через координаты
- •7.4. Некоторые приложения векторного произведения
- •Смешанное произведение трех векторов и его свойства
- •Краткий конспект лекции 13
- •Глава 5. Элементарная теория линейных операторов (продолжение)
- •5.3. Сопряженный оператор
- •5.3.1. Сопряженный оператор и его матрица
- •5.3.2. Самосопряженный оператор
- •5.3.3. Собственные значения и собственные векторы самосопряженного оператора
- •5.3.4. Приведение матрицы линейного оператора к диагональной форме
- •Теорема Ролля
- •2. Теорема Лагранжа
- •3. Теорема Коши
- •4. Правило Лопиталя
- •Первый замечательный предел
- •Формула Тейлора
- •Достаточные признаки возрастания и убывания функции.
- •Достаточные признаки экстремума функции.
- •Производная по направлению и градиент функции нескольких переменных
Производная по направлению и градиент функции нескольких переменных
Рассматриваем случай
трехмерного пространства
.
Пусть
--
вектор. Будем считать, что
.
Его координаты представимы в виде
направляющих косинусов
,
где
--
углы между вектором
и
соответствующими осями. Функция
определена
в окрестности точки
.
Из точки
проведем
прямую с направляющим вектором
.
Выберем на этой прямой точку на расстоянии
от
.
Приращением функции
вдоль
вектора
называется
величина
где,
--
приращение аргумента вдоль оси
.
Если существует предел
то он называется производной функции по направлению в точке . Это -- мгновенная скорость изменения функции по направлению .
Замечание 1.
Градиентом
функции (
)
будем называть вектор из частных
производных функции. Частная производная
-- это предел отношения приращения
функции к приращению аргумента только
по одной переменной.
Пусть
--
точка на построенной прямой, тогда
И в новой записи (производная сложной функции):
Пусть
.
Тогда
Но,
исходя из того, что производная по
направлению -- проекции градиента на
направление
,
получим
.
Значит,
--
наибольшая, если
совпадает
с направлением градиента.
Определение 1. Градиент -- вектор, направленный в сторону наибольшего возрастания функции и равный по величине мгновенной скорости возрастания функции.