![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Основные понятия
- •Скалярное произведение векторов и его свойства
- •7.1. Определение векторного произведения
- •7.2. Свойства векторного произведения
- •7.3. Выражение векторного произведения через координаты
- •7.4. Некоторые приложения векторного произведения
- •Смешанное произведение трех векторов и его свойства
- •Краткий конспект лекции 13
- •Глава 5. Элементарная теория линейных операторов (продолжение)
- •5.3. Сопряженный оператор
- •5.3.1. Сопряженный оператор и его матрица
- •5.3.2. Самосопряженный оператор
- •5.3.3. Собственные значения и собственные векторы самосопряженного оператора
- •5.3.4. Приведение матрицы линейного оператора к диагональной форме
- •Теорема Ролля
- •2. Теорема Лагранжа
- •3. Теорема Коши
- •4. Правило Лопиталя
- •Первый замечательный предел
- •Формула Тейлора
- •Достаточные признаки возрастания и убывания функции.
- •Достаточные признаки экстремума функции.
- •Производная по направлению и градиент функции нескольких переменных
Краткий конспект лекции 13
Глава 5. Элементарная теория линейных операторов (продолжение)
5.3. Сопряженный оператор
5.3.1. Сопряженный оператор и его матрица 5.3.2. Самосопряженный оператор 5.3.3. Собственные значения и собственные векторы самосопряженного оператора 5.3.4. Приведение матрицы линейного оператора к диагональной форме
5.3.1. Сопряженный оператор и его матрица
Напомним,
что в евклидовом пространстве определено
скалярное произведение векторов
Определение.
Если
существует такой оператор B,
что для
любых
и
из
евклидова пространства E справедливо
,
то оператор B
называется сопряженным оператором к
оператору A
и обозначается A*:
Теорема. Если A — линейный оператор в евклидовом пространстве E и A — его матрица в некотором ортонормированном базисе в E, то у оператора есть единственный сопряженный оператор, причем матрица сопряженного оператора в том же базисе — это матрица AT.
Теорема доказана на лекции.
Пример. Рассмотрим оператор U поворота пространства R2 на угол относительно начала координат против часовой стрелки:
Т.е.
оператор, сопряженный оператору поворота
пространства
R2
на угол
относительно начала координат против
часовой стрелки — оператор
поворота пространства R2
на угол -
относительно начала координат против
часовой стрелки.
Матрицы операторов поворота на угол и угол - имеют, соответственно, вид:
Видно,
что
Нетрудно доказать (на лекции доказано) следующие свойства сопряженного оператора:
что сопряженный к линейному оператру — линейный оператор;
характеристические многочлены операторов
и
совпадают.
5.3.2. Самосопряженный оператор
Определение.
Если
линейный оператор
A, действующий
в евклидовом пространсте E,
таков, что для любых
и
из
E справедливо
,
то оператор A
называется самосопряженным оператором.
Пример.
Оператор P2
— оператор проектирования пространства
R3
на подпространство R2
параллельно вектору
:
.
Как
показано выше, матрица оператора P2
в естественном
ортонормированном базисе
Имеет вид
Тогда
т.е.
—
оператор P2
—
самосопряженный оператор.
Видно, что матрица P2 оператора P2 — симметричная матрица.
Нетрудно доказать следующие свойства самосопряженного оператора:
сумма самосопряженных операторов — самосопряженный оператор;
если оператор A самосопряженный оператор, то оператор
— тоже самосопряженный оператор (
— действительное число).
5.3.3. Собственные значения и собственные векторы самосопряженного оператора
Можно показать (на лекции не доказывается), что у самосопряженного оператора существует собственный ортонормированный базис.
Поскольку A=A*, то матрица самосопряженного оператора — симметричная матрица. Справедлива следующая теорема.
Теорема. Матрица самосопряженного оператора в собственном базисе имеет диагональную форму.
Ясно, что для того чтобы привести матрицу самосопряженного оператор к диагональному виду нужно найти собственные значения оператора и диагональную матрицу, на диагонали которой расположены собственные значения матрицы.
Если
нужно записать выражение для приведения
матрицы к этой диагональной форме, то
нужно еще найти собственные векторы
матрицы, записать матрицу C
перехода к
собственному базису (матрицу, столбцами
которой являются координаты собственных
векторов оператора), найти обратную к
ней матрицу С-1
и тогда
—
равенство, связывающее диагональну
форму
матрицы
оператора в собственном базисе с матрицей
A оператора
в заданном базисе.