![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Основные понятия
- •Скалярное произведение векторов и его свойства
- •7.1. Определение векторного произведения
- •7.2. Свойства векторного произведения
- •7.3. Выражение векторного произведения через координаты
- •7.4. Некоторые приложения векторного произведения
- •Смешанное произведение трех векторов и его свойства
- •Краткий конспект лекции 13
- •Глава 5. Элементарная теория линейных операторов (продолжение)
- •5.3. Сопряженный оператор
- •5.3.1. Сопряженный оператор и его матрица
- •5.3.2. Самосопряженный оператор
- •5.3.3. Собственные значения и собственные векторы самосопряженного оператора
- •5.3.4. Приведение матрицы линейного оператора к диагональной форме
- •Теорема Ролля
- •2. Теорема Лагранжа
- •3. Теорема Коши
- •4. Правило Лопиталя
- •Первый замечательный предел
- •Формула Тейлора
- •Достаточные признаки возрастания и убывания функции.
- •Достаточные признаки экстремума функции.
- •Производная по направлению и градиент функции нескольких переменных
7.2. Свойства векторного произведения
1. При перестановке сомножителей векторное произведение меняет знак, т.е. а хb =(b хa ) (см. рис. 19).
Векторы ахb и b ха коллинеарны, имеют одинаковые модули (площадь параллелограмма остается неизменной), но противоположно направлены (тройки а , b , а хb и a , b , bxa противоположной ориентации). Стало быть axb = -(bxa ).
2. Векторное произведение обладает сочетательным свойством относительно скалярного множителя, т. е. (а хb ) = (а ) х b = а х (b ).
Пусть >0. Вектор (ахb ) перпендикулярен векторам а и b . Вектор ( а)хb также перпендикулярен векторам а и b (векторы а, а лежат в одной плоскости). Значит, векторы (ахb ) и ( а)хb коллинеарны. Очевидно, что и направления их совпадают. Имеют одинаковую длину:
Поэтому (a хb )= ахb . Аналогично доказывается при <0.
3. Два ненулевых вектора а и b коллинеарны тогда и только тогда, когда их векторное произведение равно нулевому вектору, т. е. а||b <=>ахb =0.
В частности, i *i =j *j =k *k =0.
4. Векторное произведение обладает распределительным свойством:
(a+b) хс= ахс+b хс.
Примем без доказательства.
7.3. Выражение векторного произведения через координаты
Мы будем использовать таблицу векторного произведения векторов i , j и k :
если направление кратчайшего пути от первого вектора к второму совпадает с направлением стрелки, то произведение равно третьему вектору, если не совпадает — третий вектор берется со знаком «минус».
Пусть заданы два вектора а=ахi +ayj +azk и b =bxi +byj +bzk . Найдем векторное произведение этих векторов, перемножая их как многочлены (согласно свойств векторного произведения):
Полученную формулу можно записать еще короче:
так как правая часть равенства (7.1) соответствует разложению определителя третьего порядка по элементам первой строки.Равенство (7.2) легко запоминается.
7.4. Некоторые приложения векторного произведения
Установление коллинеарности векторов
Нахождение площади параллелограмма и треугольника
Согласно определению векторного произведения векторов а и b |а хb | = |а| * |b |sin , т. е. S пар = |а х b |. И, значит, S =1/2|а х b |.
Определение момента силы относительно точки
Пусть в точке А приложена сила F =АВ и пусть О — некоторая точка пространства (см. рис. 20).
Из физики известно, что моментом си лы F относительно точки О называется вектор М, который проходит через точку О и:
1) перпендикулярен плоскости, проходящей через точки О, А, В;
2) численно равен произведению силы на плечо
3) образует правую тройку с векторами ОА и A В.
Стало быть, М=ОА х F .
#13
Смешанное произведение трех векторов и его свойства
Смешанным
произведением
трёх векторов
называют
число, равное
.
Обозначается
.
Здесь первые два вектора умножаются
векторно и затем полученный вектор
умножается
скалярно на третий вектор
.
Очевидно, такое произведение есть
некоторое число.
Рассмотрим свойства смешанного произведения.
Геометрический смысл смешанного произведения. Смешанное произведение 3-х векторов с точностью до знака равно объёму параллелепипеда, построенного на этих векторах, как на рёбрах, т.е.
.
Таким
образом,
и
.
Д
оказательство.
Отложим векторы
от
общего начала и построим на них
параллелепипед. Обозначим
и
заметим, что
.
По определению скалярного произведения
.
Предполагая, что
и
обозначив через h
высоту параллелепипеда, находим
.
Таким
образом, при
Если
же
,
то
и
.
Следовательно,
.
Объединяя
оба эти случая, получаем
или
.
Из
доказательства этого свойства в частности
следует, что если тройка векторов
правая,
то смешанное произведение
,
а если
–
левая, то
.
Для любых векторов , , справедливо равенство
.
Доказательство
этого свойства следует из свойства 1.
Действительно, легко показать, что
и
.
Причём знаки "+" и "–" берутся
одновременно, т.к. углы между векторами
и
и
и
одновременно
острые или тупые.
При перестановке любых двух сомножителей смешанное произведение меняет знак.
Действительно,
если рассмотрим смешанное произведение
,
то, например,
или
.
Смешанное произведение
тогда и только тогда, когда один из сомножителей равен нулю или векторы – компланарны.
Доказательство.
Предположим, что , т.е.
, тогда
или
или
.
Если
,
то
или
или
.
Поэтому
–
компланарны.
Если , то , , - компланарны.
Пусть векторы – компланарны и α – плоскость, которой они параллельны , т. е.
и
. Тогда
, а значит , поэтому
или
.
Т.о.,
необходимым и достаточным условием
компланарности 3-х векторов является
равенство нулю их смешанного произведения.
Кроме того, отсюда следует, что три
вектора
образуют
базис в пространстве, если
.
Если
векторы заданы в координатной форме
,
то можно показать, что их смешанное
произведение находится по формуле:
.
Т.
о., смешанное произведение
равно
определителю третьего порядка, у которого
в первой строке стоят координаты первого
вектора, во второй строке – координаты
второго вектора и в третьей строке –
третьего вектора.
#19
ВЕКТОРНОЕ УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ.
ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ
П
оложение
прямой в пространстве вполне определяется
заданием какой-либо её фиксированной
точки М1
и вектора
,
параллельного этой прямой.
Вектор , параллельный прямой, называется направляющим вектором этой прямой.
Итак,
пусть прямая l
проходит через точку М1(x1,
y1,
z1),
лежащую на прямой параллельно вектору
.
Рассмотрим
произвольную точку М(x,y,z)
на прямой. Из рисунка видно, что
.
Векторы
и
коллинеарны,
поэтому найдётся такое число t,
что
,
где множитель t
может принимать любое числовое значение
в зависимости от положения точки M
на прямой. Множитель t
называется параметром. Обозначив
радиус-векторы точек М1
и М
соответственно через
и
,
получаем
.
Это уравнение называется векторным
уравнением прямой. Оно показывает, что
каждому значению параметра t
соответствует радиус-вектор некоторой
точки М,
лежащей на прямой.
Запишем
это уравнение в координатной форме.
Заметим, что
,
и
отсюда
Полученные уравнения называются параметрическими уравнениями прямой.
При изменении параметра t изменяются координаты x, y и z и точка М перемещается по прямой.
КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ
П
усть
М1(x1,
y1,
z1)
– точка, лежащая на прямой l,
и
–
её направляющий вектор. Вновь возьмём
на прямой произвольную точку М(x,y,z)
и рассмотрим вектор
.
Ясно, что векторы и коллинеарные, поэтому их соответствующие координаты должны быть пропорциональны, следовательно,
–
канонические
уравнения прямой.
Замечание
1.
Заметим, что канонические уравнения
прямой можно было получить из
параметрических,исключив параметр t.
Действительно, из параметрических
уравнений получаем
или
.
Пример.
Записать уравнение прямой
в
параметрическом виде.
Обозначим
,
отсюда x
= 2 + 3t,
y
= –1 + 2t,
z
= 1 –t.
Замечание
2.
Пусть прямая перпендикулярна одной из
координатных осей, например оси Ox.
Тогда направляющий вектор прямой
перпендикулярен
Ox,
следовательно, m=0.
Следовательно, параметрические уравнения
прямой примут вид
Исключая из уравнений параметр t, получим уравнения прямой в виде
Однако
и в этом случае условимся формально
записывать канонические уравнения
прямой в виде
.
Таким образом, еслив знаменателе одной
из дробей стоит нуль, то это означает,
что прямая перпендикулярна соответствующей
координатной оси.
Аналогично,
каноническим уравнениям
соответствует
прямая перпендикулярная осям Ox
и Oy
или параллельная оси Oz.
УГОЛ МЕЖДУ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТЬЮ
Углом между прямой и плоскостью будем называть угол, образованный прямой и её проекцией наплоскость. Пусть прямаяи плоскость заданы уравнениями
Р
ассмотрим
векторы
и
.
Если угол между ними острый, то он будет
,
где φ
– угол
между прямой и плоскостью. Тогда
.
Если
угол между векторами
и
тупой,
то он равен
.
Следовательно
.
Поэтому в любом случае
.
Вспомнив формулу вычисления косинуса
угла между векторами, получим
.
Условие
перпендикулярности прямой и плоскости.
Прямая и плоскость перпендикулярны
тогда и только тогда, когда направляющий
вектор прямой
и
нормальный вектор
плоскости
коллинеарны, т.е.
.
Условие параллельности прямой и плоскости. Прямая и плоскость параллельны тогда и только тогда, когда векторы и перпендикулярны.
#23