Глава 6

Дифференциальные уравнения

6.1. Общие понятия

Дифференциальные уравнения – это уравнения, содержащие производные некоторой функции . В дальнейшем вместо слов дифференциальное уравнение будем писать ДУ.

Если ДУ содержит обычные производные функции одной переменной, то оно называется обыкновенным дифференциальным уравнением. Если уравнение содержит частные производные функции нескольких переменных, то оно называется ДУ в частных производных. В данном разделе мы будем рассматривать только обыкновенные дифференциальные уравнения.

Исходя из этого определения, в качестве примеров, рассмотрим три простых дифференциальных уравнения:

,

(6.1)

,

(6.2)

.

(6.3)

ДУ может содержать также производные различных порядков, выше первого: , . . . ,. Например, уравнение

(6.4)

содержит производную второго порядка , а уравнение

(6.5)

содержит производную третьего порядка .

Самый высокий порядок производной, входящей в уравнение, называется порядком дифференциального уравнения.Поэтому уравнения (6.1), (6.2) и (6.3) это ДУ первого порядка, а уравнения (6.4) и (6.5) это ДУ второго и третьего порядков соответственно.

РешениемДУ называется функция, которая обращает это уравнение в тождество. График решения на плоскостиназывается интегральной кривой.Например, решением уравнение (6.2) является функция

,

(6.6)

график которой (интегральная кривая) представляет собой параболу. Очевидно, что если к правой части равенства (6.6) прибавить любое число (например, ) то такая функция также будет решением уравнения (6.2). В этом случае говорят, что решение определяется с точностью до произвольной постоянной.

Решение, содержащее столько произвольных постоянных, каков порядок уравнения, называется общим решением ДУ.

Например, общее решение уравнения (6.2) имеет вид

.

(6.7)

Это решение, содержащее одну произвольную постоянную, является общим решение ДУ первого порядка (6.2).

Очевидно, что решением уравнения (6.1) является любая постоянная. Таким образом общее решение уравнения (6.1) можно записать в виде

.

(6.8)

Подставляя конкретные значения постоянной , будем получать решения уравнения, которые называютсячастными решениями.

Используя понятие производной второго порядка, перепишем уравнение (6.4) в виде

(6.9)

Тогда аналогично уравнению (6.2), получим

.

(6.10)

И далее

.

(6.11)

Это общее решение уравнения второго порядка (6.4), оно содержит две произвольные постоянные.

Аналогично можно найти общее решение ДУ третьего порядка (6.5):

.

(6.12)

Оно содержит три произвольные постоянные.

Решить уравнение (6.3) сложнее. Для этого нужно использовать один из методов решения ДУ первого порядка.

6.2. Дифференциальные уравнения первого порядка

В самом общем случае ДУ первого порядка содержит независимую переменную, неизвестную функциюи производную первого порядка этой функции. Поэтому в общем виде ДУ первого порядка можно представить так:

.

(6.13)

Примером записи ДУ в форме (6.13) является уравнение (6.3).

Если из соотношения (6.13) можно выразить в виде

,

(6.14)

то такая форма записи ДУ называется уравнением, разрешенным относительно производной. В качестве примера, из уравнения (6.3) выразим , получим

.

(6.15)

В уравнении (6.15) .

Функция , удовлетворяющая уравнению (6.14) и содержащая одну произвольную постоянную, называетсяобщим решением этого уравнения.Часто это решение можно получить только в неявной форме

.

(6.16)

или

.

(6.17)

В этом случае соотношение (6.16) или (6.17) называ­ется общим интегралом уравнения (6.14).

Решить или проинтегрировать данное дифференциальное урав­нение — значит найти его общее решение в той или иной форме. Постоянную можно найти, если задано начальное условие – значение искомой функции в некоторой точке

.

(6.19)

Здесь это некоторое известное число.

Решение, которое получается из общего решения при некотором фиксированном значении произвольной постоянной , называется частным решением.

Задача отыскания решения ДУ (6.14), удовлетворяющего начальному условию (6.19), называется задачей Коши.

ДУ первого порядка может быть записано также в форме:

.

(6.20)

Отметим, что формы записи уравнений (6.14) и (6.20) эквивалентны. От записи уравнения в форме (6.14) можно перейти к записи в виде (6.20) и наоборот.